[論文レビュー] On Generalized m-th Root Finsler Metrics

Akbar Tayebi, E. Peyghan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は一般化された $m$-乗根Finsler計量を調査し、1形式 $\theta$ を含む偏微分方程式系を用いて局所的に双対平坦な構造を特徴づける。このような計量が標準的な $m$-乗根計量と射影的に関連している場合、$B=0$ または計量がリーマン的になることを証明する。主な結果は、一般化された $m$-乗根計量と標準的な $m$-乗根計量との間で共形不変性が成り立つと、両者ともリーマン的になることである。これは、Douglas計量に関する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we characterize locally dually flat generalized m-th root Finsler metrics. Then we find a condition under which a generalized m-th root metric is projectively related to a m-th root metric. Finally, we prove that if a generalized m-th root metric is conformal to a m-th root metric, then both of them reduce to Riemannian metrics.

研究の動機と目的

• 局所的に双対平坦な一般化された $m$-乗根Finsler計量を偏微分方程式系を用いて特徴づける。
• 一般化された $m$-乗根計量が標準的な $m$-乗根計量と射影的に関連する条件を特定する。
• 一般化された $m$-乗根計量と標準的な $m$-乗根計量との間の共形同値性の結果を調査する。
• Douglas計量に関する既知の結果を、Berwaldまたはリーマン的構造への還元に一般化する。

提案手法

• 一般化された $m$-乗根Finsler計量 $F = \sqrt{A^{2/m} + B}$ の基本計量テンソル $g_{ij}$ を、$A$ と $B$ の2階微分を用いて導出する。
• 局所的双対平坦性の条件：$(F^2)_{x^k y^l} y^k = 2(F^2)_{x^l}$ を、$A_{x^l}$、$B_{0l}$、および1形式 $\theta$ を用いて表現する。
• スカラー関数 $P(x,y)$ を用いてスプライト係数 $G^i$ と $\bar{G}^i$ を分析することで、$\bar{F} = \sqrt{A^{2/m} + B}$ と $F = A^{1/m}$ の間の射影的同値性を確立する。
• 共形変換 $\bar{F} = e^\alpha \tilde{F}$ を適用し、$g_{ij} = \frac{1}{1 - e^{2\alpha}}(e^{2\alpha} \tilde{b}_{ij} - \bar{b}_{ij})$ の関係を導出し、計量のリーマン的性質を分析する。
• $A_{ij}$、$A^{ij}$、$y^i$ を含むテンソル恒等式を用いて、曲率およびスプライト係数の式を簡略化する。
• 非リーマン的構造を仮定し、非退化性条件から $c_s = 0$ を導出し、$B = 0$ に至る背理法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された $m$-乗根Finsler計量が局所的に双対平坦となる条件は何か？
• RQ2 一般化された $m$-乗根計量が標準的な $m$-乗根計量と射影的に関連するのはいつか？
• RQ3 一般化された $m$-乗根計量が標準的な $m$-乗根計量と共形同値である場合、幾何学的性質はどのように変化するか？
• RQ4 非リーマン的な一般化された $m$-乗根計量が標準的な $m$-乗根計量と共形同値になれるか？

主な発見

• 一般化された $m$-乗根Finsler計量 $F = \sqrt{A^{2/m} + B}$ が局所的に双対平坦であるための必要十分条件は、1形式 $\theta$ が存在して $B_{0l} = 2B_{x^l}$ かつ $A_{x^l} = \frac{1}{3m}[mA\theta_l + 2\theta A_l]$ を満たすことである。
• 一般化された $m$-乗根計量 $\bar{F} = \sqrt{A^{2/m} + B}$ が $F = A^{1/m}$ と射影的に関連している場合、条件 (7) が成り立つと $\bar{F}$ は $F$ と射影的に関連する。条件 (8) が成り立つと $B = 0$ となり、$\bar{F} = F$ となる。
• 一般化された $m$-乗根計量 $\bar{F}$ が標準的な $m$-乗根計量 $F = A^{1/m}$ と共形同値である場合、$F$ はリーマン的でなければならない。すなわち $C_{ijk} = 0$ である。
• 一般化された $m$-乗根計量 $\bar{F} = \sqrt{A^{2/m} + \bar{B}}$ と $\tilde{F} = \sqrt{A^{2/m} + \tilde{B}}$ が共形同値である場合、$F = A^{1/m}$ がリーマン的でない限り $\bar{B} = \tilde{B}$ である。
• $\bar{F}$ が $F = A^{1/m}$ と共形同値であり、$F$ がリーマン的でない場合、$\bar{F} = F$ となる。よって、非自明な共形変形は存在しない。
• 証明では、非ゼロの $d^j c_j$ と曲率項の非退化性が $c_s = 0$ を強制し、$B = 0$ に至る。これにより計量は標準的な $m$-乗根の場合に縮退する。