[論文レビュー] On Generalized Moment Maps for Symplectic Compact Group Actions

Pierre Sleewaegen|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉じたシンプレクティック多様体上のコンパクトな連結リー群のシンプレクティック作用に対して、一般化されたモーメント写像を導入し、McDuffの円周値モーメント写像を高ランクのコンパクト群へ拡張する。トーラス作用に対して非ハミルトニアン版のアティヤ＝ギュイリーム＝シュテルンバーグの凸性定理を確立し、固定点をもつ複雑性1のシンプレクティックトーラス作用がハミルトニアンであることを、ファイバー連結モーメント写像と還元技法を用いて証明する。

ABSTRACT

A generalized moment map is proposed for arbitrary symplectic actions of compact connected Lie groups on closed symplectic manifolds, in the spirit of the circle -valued maps introduced by D. McDuff in the case of non-Hamiltonian circle actions. We study equivariance properties of generalized moments, show that they allow reduction procedures, and obtain in the torus case a version of the Atiyah-Guillemin-Sternberg convexity theorem. As illustration, we reformulate a proof of M.K. Kim that "complexity one" symplectic torus actions are Hamiltonian, and give a symplectic proof of the finiteness of certain symmetry groups of compact oriented surfaces.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群作用に対するMcDuffの円周値モーメント写像を、シンプレクティック多様体上での一般化されたコンパクトなリー群作用へ拡張すること。
• トーラス作用に対して非ハミルトニアン版のアティヤ＝ギュイリーム＝シュテルンバーグの凸性定理を確立すること。
• 固定点をもつ複雑性1のシンプレクティックトーラス作用がハミルトニアンであることを、一般化されたモーメント写像と還元を用いて証明すること。
• 一般化されたモーメント写像の等化性の性質と、Marsden-Weinsteinの還元との整合性を分析すること。
• 一般化されたモーメント写像の枠組みを用いて、 genus ≥2 の曲面上の等長群の有限性をシンプレクティックな証明で与えること。

提案手法

• 𝒞* がハミルトニアンモーメント写像で、(S¹)^r が非ハミルトニアントーラス作用のMcDuffモーメント写像であるような、一般化されたモーメント写像 μ: M → 𝒞* × (S¹)^r を定義する。
• M 上に不変な積分的シンプレクティック形式 ω′ を構成し、ω′ に関して作用がハミルトニアンであることを保証する。
• G = C × T^r と分解し、C がハミルトニアンに作用し、T^r が非ハミルトニアンに作用するようにして、モーメント写像の構造を定義する。
• モーメント写像のファイバー連結性を用いて、レベル集合および還元空間に対する位相的制御を確保する。
• Marsden-Weinsteinの還元を段階的に適用し、(S¹)^r 上のアフィン作用を用いて非ハミルトニアン作用に適応する。
• Sardの定理と固定点近傍の局所正規形を用いて、正則値を構成し、固定点軌道を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McDuffの円周値モーメント写像の構成は、シンプレクティック多様体上での高ランクコンパクトリー群作用へ一般化可能か？
• RQ2 一般化されたモーメント写像を用いて、非ハミルトニアントーラス作用に対してアティヤ＝ギュイリーム＝シュテルンバーグの凸性定理が成立するか？
• RQ3 複雑性1のシンプレクティックトーラス作用が必ずハミルトニアンである条件は何か？
• RQ4 一般化されたモーメント写像の等化性は達成可能か？固定点が存在しない場合の障害は何か？
• RQ5 固定点の存在が、非ハミルトニアン群作用のハミルトニアン性にどのように影響するか？

主な発見

• コンパクトな連結リー群作用が閉じたシンプレクティック多様体 M 上に作用するとき、一般化されたモーメント写像 μ: M → 𝒞* × (S¹)^r が存在する。ここで 𝒞* は真のハミルトニアンモーメント写像であり、(S¹)^r の成分はMcDuffのモーメント写像である。
• G がトーラスであるとき、一般化されたモーメント写像の像は μ(M) = Δ × (S¹)^r を満たし、Δ はハミルトニアン成分の凸多面体像であり、μ は開写像である。
• 第一ベッチ数 b₁(M) に対して r ≤ b₁(M) が成り立つ。ここで r は非ハミルトニアントーラス因子のランクである。
• T^r-作用に固定点が存在する場合、一般化されたモーメント写像は群作用に関して等化可能に選べる。
• 非ハミルトニアンの遺伝性の性質により、非ハミルトニアン T^r-作用は T¹-還元後も非ハミルトニアンのままであり、モーメント写像の構造が保存される。
• ファイバー連結モーメント写像 μ^fc を用いることで、段階的還元により、固定点をもつ非ハミルトニアン S¹-作用を持つ連結な4次元オーロラフォイドを構成でき、McDuffの結果と矛盾し、複雑性1の作用に関するKimの定理を証明する。