[論文レビュー] On generalized probabilities: correlation polytopes for automaton logic and generalized urn models, extensions of quantum mechanics and parameter cheats

Karl Svozil|ArXiv.org|Dec 14, 2000

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ひとこと要約

本稿は、量子確率を一般化し、トレースが1の任意の正定値自己随伴作用素へ形式を拡張することで、状態と観測量の統一的取り扱いを可能にする。また、『パrameter cheat』と呼ばれる非線形かつ全単射な測定パラメータ変換を導入し、古典的系が量子相関を模倣可能であることを示すが、これは非一様性を伴う。

ABSTRACT

Three extensions and reinterpretations of nonclassical probabilities are reviewed. (i) We propose to generalize the probability axiom of quantum mechanics to self-adjoint positive operators of trace one. Furthermore, we discuss the Cartesian and polar decomposition of arbitrary normal operators and the possibility to operationalize the corresponding observables. Thereby we review and emphasize the use of observables which maximally represent the context. (ii) In the second part, we discuss Pitowsky polytopes for automaton logic as well as for generalized urn models and evaluate methods to find the resulting Boole-Bell type (in)equalities. (iii) Finally, so-called ``parameter cheats'' are introduced, whereby parameters are transformed bijectively and nonlinearly in such a way that classical systems mimic quantum correlations and vice versa. It is even possible to introduce parameter cheats which violate the Boole-Bell type inequalities stronger than quantum ones, thereby trespassing the Tsirelson limit. The price to be paid is nonuniformity.

研究の動機と目的

• 純状態を超えて、トレースが1のすべての正定値自己随伴作用素へ一般化されたトレース則を用いた量子確率形式の拡張。
• カーテシアンおよび極座標分解を用いた正規作用素と一般作用素の操作的実現可能性の調査。
• ボール-ベル型不等式を用いたオートマトン論理および一般化されたアンモデルの相関多面体の分析。
• 非線形パラメータ変換（『パラメータ・チート』）を通じた古典的系による量子的相関の再現可能性の探求。
• 特に非一様性に起因する制限を含む、こうしたパラメータ・チートの物理的整合性と限界の評価。

提案手法

• 密度作用素（正定値、自己随伴、トレースが1）である $ \rho_\psi $ および $ \rho_\varphi $ を用いて、$ P(\psi,\varphi) = \mathrm{Tr}(\rho_\psi \rho_\varphi) $ として量子確率を一般化。このとき、両作用素が射影作用素でなくてもよい。
• 正規作用素のカーテシアンおよび極座標分解を用い、一般観測量の測定を同時に可測な自己随伴またはユニタリ作用素に還元する。
• ピトウスキーの枠組みを用い、非ブール的イベント構造（オートマトン論理、一般化されたアン）を、分散なし状態の凸結合としてモデル化する。
• 極値状態によって定義される頂点の凸包として相関多面体を構築し、すべての可能な古典的相関の集合を表す。
• 非線形かつ全単射なパラメータ変換 $ \theta \mapsto \Delta $ を導入し、古典的相関関数を量子のそれと模倣可能にする。
• フーリエ級数展開を用いてパラメータ・チートを定義し、たとえば $ P^{=}_{cl}(\Delta) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{n} \frac{\sin((2k+1)(2\Delta/\pi - 1))}{2k+1} $ のように、極限において段階関数に収束する形にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子確率は、純状態を超えて混合状態を状態および観測量として含む形で一貫して一般化可能か？
• RQ2 非ブール的イベント構造（例：オートマトン論理、一般化されたアン）は、どの程度古典的相関多面体に埋め込めるか？
• RQ3 非線形パラメータ変換を通じて、古典的系が量子相関を再現可能か。もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 こうしたパラメータ・チートが課す物理的および数学的制約（特に非一様性）は何か？
• RQ5 パラメータ・チートはツァイレルソンの上限を越える可能性があるか。これは古典的・量子的境界に何を意味するか？

主な発見

• 一般化された確率則 $ P(\psi,\varphi) = \mathrm{Tr}(\rho_\psi \rho_\varphi) $ は、両作用素が混合状態であっても、正値性および有界性（$ 0 \leq P \leq 1 $）を保つ。
• 正規作用素は、それらのカーテシアンまたは極座標分解成分を同時に測定できる場合に、操作的に実現可能である。
• 非ブール論理（例：オートマトン論理）の相関多面体は、分散なし状態の凸包から生じるため、古典的相関多面体の部分集合である。
• 非線形フーリエに基づく変換で定義されるパラメータ・チートは、ツァイレルソンの上限を越える相関関数を再現可能である。
• パラメータ再パラメータ化 $ \theta = \frac{\pi}{2} + 2 \sum_{k=0}^{n} \frac{\sin((2k+1)(2\Delta/\pi - 1))}{2k+1} $ を通じて、特定のパラメータ再定義のもとで古典的系が量子的振る舞いを模倣可能である。
• 量子相関を模倣するが、パラメータ・チートは非一様性を導入し、標準的な物理的パラメータスキームにおける等方性および線形性を破る。