[論文レビュー] On Generalized Randers Manifolds

Aly A. Tamim, Nabil L. Youssef|ArXiv.org|Jul 22, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$L$ をフィンスラー計量、$\alpha$ を1次形式とする形 $L^* = L + \alpha$ である一般化ランダース多様体を導入し、古典的ランダース幾何を拡張する。グローバルで座標に依存しないアプローチを用いて、$d_J\alpha$ が閉じているという条件下で、一般化ランダース多様体が一般ランズバーグ多様体であるための必要十分条件が $\nabla_{\beta\overline{\eta}}\nu = 0$ であることが示され、このような構造の重要な幾何的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

By a Randers' structure on a manifold $M$ we mean a Finsler structure $L^*=L+α$, where $L$ is a Riemannian structure and $α$ is a 1-form on $M$. This structure was first introduced by Randers ~\cite{[8]} from the standpoint of general relativity. In this paper, we replace $L$ by a Finsler structure, calling the resulting manifold a generalized Randers manifold. On one hand, we develop in some depth generalized Randers manifolds. On the other hand, we apply the results obtained in a foregoing paper ~\cite{[12]} to generalized Randers manifolds to obtain some new results in that domain. Among many results, we establish a necessary and sufficient condition for a generalized Randers manifold to be a general Landsberg manifold. It should be noticed that our approach is in general a global one.

研究の動機と目的

• 局所座標法に依存しない、一般化ランダース多様体のグローバルな研究を拡張・深化させること。
• フィンスラー接続に関する先行研究の結果を応用し、一般化ランダース多様体の新しい幾何的特徴づけを導出すること。
• 一般化ランダース多様体が一般ランズバーグ多様体であるための必要十分条件を確立すること。
• 一般化ランダース構造における測地線、曲率、水平分布の可積分性との関係を調査すること。

提案手法

• 本稿は、$\pi$-テンソル場とスリット接バンドル $\mathcal{T}M$ 上のカルタン接続を用いたグローバルでバンドル論的枠組みを採用する。
• 1形式 $\alpha$ に付随する $\pi$-ベクトル場 $\overline{b}$ を用いて、一般化ランダース計量 $L^* = L + \alpha$ を定義し、$\alpha = g(\overline{b}, \overline{\eta})$ と表す。
• 接続写像 $K$ と水平上昇 $\beta$ を用いて、ねじれ $T$、曲率 $R$、角計量テンソル $h$ といった主要な幾何的対象を分析する。
• 標準ランダース幾何からのずれを記述するため、テンソル $N = \nabla_{\beta\overline{X}}\overline{b} - \overline{\nabla_X b}$ と形式 $\nu = \ell \circ N_0$ を導入する。
• 水平分布と $J$-共変微分 $d_J\alpha$ を用いて、可積分性と測地線の同値性を分析する。
• 解析はカルタン接続 $\nabla$ 及びその誘導する曲率・ねじれテンソル $R$, $P$, $Q$, $S$, $T$ を $\pi$-バンドル上で用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ランダース多様体が一般ランズバーグ多様体であるためのグローバルな条件は何か？
• RQ2 条件 $d_J\alpha$ が閉じていることが、一般化ランダース多様体の測地線構造と曲率に与える影響は何か？
• RQ3 関連するフィンスラー多様体 $(M,L)$ と一般化ランダース多様体 $(M,L^*)$ の曲率・ねじれテンソルの関係は何か？
• RQ4 $(M,L)$ と $(M,L^*)$ の測地線が一致するのはいつか？ どのような幾何的条件がこれを保証するか？
• RQ5 $(M,L^*)$ がベルワルドまたは局所ミンコフスキー多様体であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• 一般化ランダース多様体 $(M,L^*)$ が一般ランズバーグ多様体であるための必要十分条件は、$d_J\alpha$ が閉じているという条件下で $\nabla_{\beta\overline{\eta}}\nu = 0$ である。
• $(M,L)$ と $(M,L^*)$ の測地線が一致するのは、$d_J\alpha$ が閉じている場合に限る。これは $N$ が恒等的に消えることと同値である。
• $d_J\alpha$ が閉じているという仮定の下で、$(M,L^*)$ の水平分布が完全可積分であるための必要十分条件は、$(M,L)$ に対しても同様に完全可積分であることである。
• すべての $\overline{X}$ に対して $\nabla_{\beta\overline{X}}\omega = 0$ が成り立つならば、$R^* = 0$ であるための必要十分条件は $R = 0$ であることから、両構造間の曲率の消滅が関連づけられる。
• $d_J\alpha$ が閉じているとき、$(M,L^*)$ が一般ランズバーグ多様体であるための必要十分条件は $\nabla_{\beta\overline{\eta}}\nu = 0$ である。
• $d_J\alpha$ が閉じているとき、$(M,L)$ と $(M,L^*)$ の間で測地線のモース指数が保存され、変分構造において強い幾何的同値性が示唆される。