[論文レビュー] On Generating functions of Diagonals Sequences of Sheffer and Riordan Number Triangles

Wolfdieter Lang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

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ひとこと要約

この論文は、ラグランジュ逆定理を用いて、シーファーおよびライオーダン数の三角形における対角線列の通常型母関数（o.g.f.）の指数型母関数（e.g.f.）を導出する。一般のシーファー三角形における対角線のo.g.f.のe.g.f.の一般式を確立するとともに、ライオーダンおよびパスカルの三角形の対角線要素の積に対する対数型母関数（l.g.f.）を導出し、特定のケースでは分子多項式の係数三角形が得られる。

ABSTRACT

The exponential generating function of ordinary generating functions of diagonal sequences of general Sheffer triangles is computed by an application of Lagrange's theorem. For the special Jabotinsky type this is already known. An analogous computation for general Riordan number triangles leads to a formula for the logarithmic generating function of the ordinary generating functions of the product of the entries of the diagonal sequence of Pascal's triangle and those of the {Riordan triangle. For some examples these ordinary generating functions yield in both cases coefficient triangles of certain numerator polynomials.

研究の動機と目的

• 一般のシーファー三角形における対角線列の通常型母関数（o.g.f.）の指数型母関数（e.g.f.）を導出すること。
• この解析を一般のライオーダン数の三角形に拡張し、ライオーダンおよびパスカルの三角形の対角線要素の積に焦点を当てる。
• これらの対角線列のo.g.f.の分子多項式の係数三角形を同定すること。
• 組合せ的数の三角形における対角線の母関数を生成するための、ラグランジュ逆定理を用いた統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 形式的冪級数恒等式としてのラグランジュの逆定理の形を適用し、シーファー三角形における対角線列のo.g.f.のe.g.f.を導出する。
• 生成関数関係 $ y = x(1 - t\hat{f}(x)) $ の合成逆関数を用いて、e.g.f. をシーファー関数 $ g $ と $ \hat{f} $ の形で表現する。
• ライオーダン三角形の場合、ライオーダンおよびパスカルの三角形の対角線要素の積のo.g.f.の対数型母関数（l.g.f.）を導出する。
• 負の上付き添え字を持つ二項係数を恒等式 $ \binom{-n}{p} = (-1)^p \binom{p+n-1}{p} $ を用いて変換し、形式的冪級数展開を扱う。
• 係数抽出 $[a^n] h(a)$ を用いて、母関数と三角形の要素を結びつける。
• 得られた級数が、特定の例において分子多項式の係数三角形をもたらすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のシーファー三角形における対角線列のo.g.f.のe.g.f.を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 ライオーダン三角形とパスカルの三角形の対角線要素の積の母関数の構造はいかなるものか？
• RQ3 これらの積の母関数は、対角線のo.g.f.の対数型母関数として表現可能か？
• RQ4 これらの対角線積のo.g.f.が、分子多項式の係数三角形をもたらす条件は何か？
• RQ5 ラグランジュ逆定理は、組合せ的数の三角形における対角線の母関数の導出をどのように支援するか？

主な発見

• シーファー三角形における対角線列のo.g.f.のe.g.f.は、$ EGDS(y,t) = H(x(t;y)) - H(0) $ で与えられ、ここで $ H(x) = \int g(x)\,dx $ であり、$ x(t;y) $ は $ y = x(1 - t\hat{f}(x)) $ の合成逆関数である。
• ジャボティンスキー型のシーファー三角形では、この結果は既知の公式を回復するが、この手法はすべてのシーファー三角形に一般化可能である。
• ライオーダン三角形の場合、ライオーダンおよびパスカルの三角形の対角線要素の積のo.g.f.の対数型母関数は、$ \sum_{d=0}^\infty \frac{y^{d+1}}{d+1} \sum_{p=0}^\infty \binom{d+p}{p} R(d+p,p) t^p $ として導出される。
• 特定の例では、o.g.f.の分子多項式の係数三角形が得られ、例えばパスカルの三角形の対角線に対しては $ \sum_{k=0}^d \binom{d}{k}^2 x^k $ がその例となる。
• この手法は、形式的冪級数技法と組合せ的数の三角形を効果的に結びつけ、対角線の母関数を体系的に計算可能にする。
• 導出結果は、分子多項式の係数三角形が、シーファーおよびライオーダンの両ケースにおいて母関数構造から自然に生じることを確認している。