[論文レビュー] On generating series of classes of equivariant Hilbert schemes of fat points

S. M. Gusein‐Zade, I. Luengo+1 more|ArXiv.org|May 12, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的多様体上の0次元部分スキームの等変ヒルベルトスケールの生成関数の公式を、有限群作用への拡張し、複素数多様体のグロチェンディーク環上のべき構造を導入する。滑らかな表面における巡回群作用の局所的生成関数を導出し、対数的生成関数の閉形式積の予想を提示し、小規模な群の位数について明示的な計算を行い、係数の安定化パターンを明らかにする。

ABSTRACT

In previous papers the authors gave formulae for generating series of classes (in the Grothendieck ring of complex quasi-projective varieties) of Hilbert schemes of zero-dimensional subschemes on smooth varieties and on orbifolds in terms of certain local data and the, so called, power structure over the corresponding ring. Here we give an analogue of these formulae for equivariant (with respect to an action of a finite group on a smooth variety) Hilbert schemes of zero-dimensional subschemes and compute some local generating series for an action of the cyclic group on a smooth surface.

研究の動機と目的

• 以前のヒルベルトスケールの生成関数の公式を、有限群作用下の等変設定に一般化すること。
• 滑らかな表面における巡回群作用下の0次元部分スキームの等変ヒルベルトスケールの局所的生成関数を計算すること。
• これらの生成関数の対数的生成関数における構造的パターンを調査し、閉形式の表現を予想すること。
• 群の位数が増加する際の対数的生成関数の係数における安定化現象を調査すること。

提案手法

• グロチェンディーク環 $K_0(\mathcal{V}_{\mathbb{C}})$ 上のべき構造を用いて、等変ヒルベルトスケールの生成関数を定義・操作する。
• 対象の配置空間 $(K, \varphi)$ に基数制約を課した幾何的解釈を通じて、べき構造を解釈する。
• 一般化されたオイラー特徴の積分公式 $\mathbb{H}_X(T) = \int_X \mathbb{H}_{X,x}(T)^{d\chi_g}$ を用いて、グローバル生成関数を局所的データに還元する。
• 具体的な群作用（例：$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ および $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ による $\mathbb{C}^2$ 上の作用）に対して、記号計算（Maple）を用いて明示的な系列を計算する。
• パターンの検出と積構造の予想のため、対数的生成関数 $\mathrm{Log}^{(1)}$ および $\mathrm{Log}^{(2)}$ を分析する。
• 観察された係数の安定化に基づき、$\mathbb{H}^{M,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ に対する予想的な積の公式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群作用下の等変ヒルベルトスケールの生成関数は、グロチェンディーク環上のべき構造を用いて、局所的データで表現可能であろうか？
• RQ2 平面における巡回群作用下の対数的生成関数 $\mathrm{Log}^{(1)}\mathbb{H}^{M,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 $\mathrm{Log}^{(2)}\mathbb{H}^{M,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ の係数列 $p_i^{M,1}(\mathbb{L})$ は、$M$ が $i$ に対して十分に大きい場合に安定化するか？
• RQ4 非等変の場合に類似する閉形式の積の公式が、$\mathbb{H}^{M,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ に対して存在するであろうか？
• RQ5 対数的生成関数の係数に観察された安定化の幾何的意味は何か？

主な発見

• 群 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ による $\mathbb{C}^2$ 上の作用に対して、対数的生成関数 $\mathrm{Log}^{(1)}\mathbb{H}^{3,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ は $T + \mathbb{L}T^2 + T^3 + \mathbb{L}T^4 + \mathbb{L}^2T^5 + \cdots$ で始まり、次数に構造的なパターンが現れている。
• 予想的な積の公式を提示：$\mathbb{H}^{3,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T) = \prod_{i=1}^\infty \frac{1}{(1 - \mathbb{L}^{i-1}T^{3i-2})(1 - \mathbb{L}^i T^{3i-1})(1 - \mathbb{L}^{i-1} T^{3i})}$。
• 群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ による作用に対しては、$\mathrm{Log}^{(1)}\mathbb{H}^{4,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ に $(1+\mathbb{L})T^4 + (2\mathbb{L} + 2\mathbb{L}^2 + \mathbb{L}^3)T^8 + \cdots$ のような項が現れ、係数の非自明な増加を示している。
• $\mathrm{Log}^{(2)}$ 生成関数においては、$(-\mathbb{L}^2 + \mathbb{L}^3 - \mathbb{L}^6)T^{12}$ のような負の係数が観察され、非自明な代数的構造が示唆される。
• 計算結果から、$M'' > M' > i$ のとき、$\mathrm{Log}^{(2)}\mathbb{H}^{M,1}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ の係数 $p_i^{M',1}(\mathbb{L})$ と $p_i^{M'',1}(\mathbb{L})$ が安定化することが示唆され、$M \to \infty$ の極限においてある限界が存在する可能性が示唆される。
• $\mathrm{Log}^{(1)}$ 生成関数 $\mathbb{H}^{5,2}_{\mathbb{C}^2,0}(T)$ は、次数 $5k$ で繰り返しのパターンを示し、$T^5 + \mathbb{L}T^6 + \cdots + \mathbb{L}^4T^{24} + \cdots$ のような項を含むことから、周期性または対称性の可能性が支持される。