[論文レビュー] On geodesic mappings of manifolds with affine connection

Josef Mikeš, Irena Hinterleitner|ArXiv.org|May 12, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 65

ひとこと要約

この論文は、任意の $C^1$ マニフォールドにアフィン接続が与えられたとき、それが局所的に測地的写像によって等アフィン多様体（対称リッチテンソルを持つもの）に写されることが証明されている。これにより、全般的な射影的等アフィニティが確立される。構成法では、元の接続と $C^2$ メトリックのレヴィチビタ接続との差から得られる、全空間に定義された1次形式 $ \psi$ を用い、像多様体が等アフィンであり、測地線が保存されることを保証する。

ABSTRACT

In this paper we prove that all manifolds with affine connection are globally projectively equivalent to some space with equiaffine connection (equiaffine manifold). These manifolds are characterised by a symmetric Ricci tensor.

研究の動機と目的

• アフィン接続を持つ多様体の全般的な射影的計量可能性問題を、それが等アフィン多様体と射影的に同値であることを示すことによって解決すること。
• 従来の射影的等アフィニティに関する局所的結果を、全般的な設定に拡張すること。
• 任意の $C^1$ マニフォールドにアフィン接続が与えられた場合、等アフィンな像多様体への測地的写像の明示的構成を提供すること。
• 像多様体のリッチテンソルが対称であることを示し、等アフィニティであることを確認すること。
• 測地的写像と計量可能性の研究を統一し、問題を等アフィン幾何学への帰着すること。

提案手法

• 多様体 $M$ 上に全空間に定義された $C^2$ リーマン計量 $\tilde{g}$ を構成する。
• $\tilde{g}$ に付随するレヴィチビタ接続 $\tilde{\nabla}$ を定義する。
• 1次形式 $\psi$ を $\psi(X) = -\frac{1}{n+1} \text{trace}(Y \mapsto \nabla_X Y - \tilde{\nabla}_X Y)$ により定義する。
• レヴィチビタの式 $\bar{\nabla}_X Y = \nabla_X Y + \psi(X)Y + \psi(Y)X$ を用いて、$M$ 上に新たなアフィン接続 $\bar{\nabla}$ を定義する。
• リッチテンソルの変換公式を用いて、$\bar{Ric}(X,Y) = \bar{Ric}(Y,X)$ を示すことにより、$\bar{A}_n = (M, \bar{\nabla})$ が等アフィンであることを検証する。
• 構成の過程から、$A_n$ から $\bar{A}_n$ への写像が測地的写像であることが保証され、かつ $\bar{A}_n \in C^1$ であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $C^1$ マニフォールドにアフィン接続が与えられたとき、それが等アフィン多様体へ測地的写像で全空間的に写せるか？
• RQ2 局所的な射影的等アフィニティの結果は、全般的な同値性に拡張可能か？
• RQ3 $C^2$ 計量とそのレヴィチビタ接続を用いて、このような測地的写像の明示的構成が可能か？
• RQ4 測地的写像下で、像多様体のリッチテンソルが対称になるための条件は何か？
• RQ5 射影的計量可能性の問題は、等アフィン多様体への測地的写像に帰着可能か？

主な発見

• すべての $C^1$ マニフォールドにアフィン接続が与えられた場合、それが等アフィン多様体へ測地的写像で全空間的に写される。
• 構成された像多様体 $\bar{A}_n$ は対称リッチテンソルを持つため、等アフィンであることが確認された。
• 測地的写像は、$C^2$ 計量とその関連レヴィチビタ接続を用いて明示的に構成された。
• 1次形式 $\psi$ は全空間に定義されており、写像がレヴィチビタの式を満たすことを保証する。
• リッチテンソルの変換公式 $\bar{Ric}(X,Y) = Ric(X,Y) + n\psi(X,Y) - \psi(Y,X)$ が成り立ち、これが像多様体での対称性を導く。
• 従来の局所的結果を一般化し、すべての $C^1$ アフィン多様体に対して全般的な射影的等アフィニティが確立された。