[論文レビュー] On Geodesically Convex Formulations for the Brascamp-Lieb Constant

Nisheeth K. Vishnoi, Ozan Yildiz|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正定値行列の多様体上で対数行列式ヘッセ計量を用いて、Brascamp-Lieb定数の2つの新しい測地的凸形式を提示する。両形式が測地的対数凹型であることが確立されており、次元の指数的増大に起因する問題を回避する多項式時間で解ける代替手法を提供する。これにより、Brascamp-Liebデータが実行可能である場合の効率的な最適化が可能になる。

ABSTRACT

We consider two non-convex formulations for computing the optimal constant in the Brascamp-Lieb inequality corresponding to a given datum, and show that they are geodesically log-concave on the manifold of positive definite matrices endowed with the Riemannian metric corresponding to the Hessian of the log-determinant function. The first formulation is present in the work of Lieb and the second is inspired by the work of Bennett et al. Recent works of Garg et al.and Allen-Zhu et al. also imply a geodesically log-concave formulation of the Brascamp-Lieb constant through a reduction to the operator scaling problem. However, the dimension of the arising optimization problem in their reduction depends exponentially on the number of bits needed to describe the Brascamp-Lieb datum. The formulations presented here have dimensions that are polynomial in the bit complexity of the input datum.

研究の動機と目的

• 問題の次元に伴う指数的増大を回避する、Brascamp-Lieb定数の計算的に効率的な形式の開発を目的とする。
• 正定値行列のリーマン多様体上での、既存および新規のBrascamp-Lieb定数形式の測地的凸性の確立を目的とする。
• 従来の入力ビット複雑度に伴い指数的に増大する演算子スケーリング還元の代替として、多項式サイズの代替を提供することを目的とする。
• 線形写像および正定値行列上の幾何平均の下での対数行列式関数の測地的凸性の特徴づけを目的とする。

提案手法

• Liebのガウス最大化形式を用いて、正定値行列上の最適化としてBrascamp-Lieb定数を定式化する。
• Bennettらに着想を得た第二の形式を導入し、正定値多様体上での測地的対数凹型であることを示す。
• 対称正定値行列上での幾何平均および正線形写像の理論を適用し、凸性の性質を導出する。
• 厳密に正の線形写像の対数行列式が測地的凸であるという事実を用い、Sra (2015) の補題2.8を活用する。
• 正定値行列に適用された線形写像の和の対数行列式の共同測地的凸性を確立する。
• 行列不等式およびLoewner順序を用いて、幾何平均の特徴づけと線形写像による正定値性の保存を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brascamp-Lieb定数は、正定値行列の多様体上で対数行列式ヘッセ計量を用いた測地的凸最適化問題として定式化可能か？
• RQ2 Lieb らおよび Bennett ららの既存形式は、対数行列式ヘッセ計量の下で測地的対数凹型であるか？
• RQ3 演算子スケーリング還元で見られた指数的次元増大を回避する多項式サイズの測地的凸形式を構築可能か？
• RQ4 正線形写像および幾何平均は、対数行列式関数の測地的凸性の確立においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• Liebのガウス最大化形式に基づく第一の形式は、対数行列式ヘッセ計量の下で、正定値行列多様体上で測地的対数凹型である。
• Bennett らに着想を得た第二の形式も測地的対数凹型であり、代替の凸形式を提供する。
• 提案された形式は、入力Brascamp-Liebデータのビット複雑度に対して多項式サイズである。これに対して、従来の還元は指数的に増大していた。
• 正線形写像の対数行列式の測地的凸性は、行列不等式および線形写像が幾何平均に与える影響を用いて確立された。
• 正定値行列に適用された線形写像の和の対数行列式の共同測地的凸性が証明され、効率的な最適化が可能になる。
• 結果として、実行可能データに対するBrascamp-Lieb定数を計算する多項式時間アルゴリズムの基盤が提供され、従来の還元で見られた指数的増大を回避できる。