[論文レビュー] On Geometric Infinite Divisibility

E Sandhya, R. N. Pillai|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、無限可分（ID）分布の幾何的バージョンを導入し、独立同分布の確率変数の幾何的和の文脈において、幾何的吸引と部分幾何的吸引の概念を発展させる。分布が幾何的厳密安定（GSS）分布に幾何的に吸引されるための必要十分条件は、その幾何的バージョンが半-αラプラス分布の部分幾何的吸引域にあることであると示され、幾何的吸引と半-αラプラス分布の間の一対一対応が確立される。

ABSTRACT

The notion of geometric version of an infinitely divisible law is introduced. Concepts parallel to attraction and partial attraction are developed and studied in the setup of geometric summing of random variables.

研究の動機と目的

• 確率変数の幾何的和の枠組みにおいて、古典的な吸引および部分吸引の概念を拡張すること。
• 無限可分（ID）分布の幾何的バージョンを定義・研究し、ID分布とその幾何的バージョンとの間の一対一対応を確立すること。
• 幾何的厳密安定（GSS）分布に対する幾何的吸引域および部分幾何的吸引域を特徴づけること。
• ID分布の幾何的バージョンを通じて、部分幾何的吸引と半-αラプラス分布との関係を確立すること。

提案手法

• 特性関数を用いてID分布の幾何的バージョン（g.v.）を定義する：$ F $ が特性関数 $ \exp\{-g(t)\} $ を持つならば、そのg.v. $ G $ は特性関数 $ 1/(1 + g(t)) $ を持つ。
• 幾何的和の正規化を通じて幾何的吸引を定義する：$ Y_n = B_n^{-1} \sum_{i=1}^{N_{p_n}} X_i $、ここで $ N_{p_n} \sim \text{Geometric}(p_n) $、$ p_n \to 0 $、$ B_n \to \infty $。
• 特性関数の収束を用いて $ G $ が $ Y_n $ の極限分布であることを証明し、幾何的吸引を確立する。
• 部分幾何的吸引を、部分列 $ \{k_n\} $ に対して $ Y_{k_n} \to Y $ が分布収束することによって定義する。
• 特性関数の漸近的挙動の分析を通じて、部分幾何的吸引と半-αラプラス分布との関係を確立する。
• Kaganら[4]の関数方程式に関する結果を応用し、二つの不可約な $ p $-値に対して収束が成立する場合、極限は半-αラプラス分布でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限可分分布の幾何的バージョンとは何か？ また、元のID分布とはどのように関係するか？
• RQ2 幾何的厳密安定（GSS）分布に対する幾何的吸引域を特徴づける条件は何か？
• RQ3 部分幾何的吸引は半-αラプラス分布とどのように関係するか？
• RQ4 どのような条件下で、分布が半-αラプラス分布に部分的に幾何的に吸引されるか？
• RQ5 ID分布の幾何的バージョンと、それが半-αラプラス分布に部分的に幾何的に吸引される関係は何か？

主な発見

• 特性関数 $ \exp\{-g(t)\} $ を持つID分布 $ F $ の幾何的バージョンは、特性関数 $ 1/(1 + g(t)) $ を持つGID分布であり、ID分布とその幾何的バージョンとの間の一対一対応が確立される。
• 分布 $ F $ がGSS分布 $ G $ に幾何的に吸引されるための必要十分条件は、$ F $ が $ G $ の幾何的吸引域に属することであり、これは $ B_n = p^{-n/\alpha} $、$ p_n = p^n $、および $ \log p_1 / \log p_2 $ が無理数であるときに限り成立する。
• GSS分布への幾何的吸引域に属するための必要十分条件は $ [1/p_n] = n $ であり、正規化が幾何的和の構造と関連づけられる。
• 任意の半-αラプラス分布 $ G $ に対して、それに対して部分的に幾何的に吸引されるID分布が存在し、収束は部分列 $ k_n = [a^n] $、$ B_{k_n} = b^{-n} $ に沿って発生する。
• ID分布 $ F $ が $ G $ に部分的に幾何的に吸引され、$ k_{n+1}/k_n \to a $、$ B_{k_{n+1}}/B_{k_n} \to 1/b $ を満たすならば、$ G $ は順序 $ b $ の半-αラプラス分布でなければならない。ここで $ ab^\alpha = 1 $ が成り立つ。
• 半安定分布 $ G $ の幾何的バージョンは半-αラプラス分布であり、ID分布 $ F $ が $ G $ の部分幾何的吸引域に属するための必要十分条件は、$ F $ の幾何的バージョンが $ G $ の幾何的バージョンの部分幾何的吸引域に属することである。