[論文レビュー] On geometry of a special class of solutions to generalised WDVV equations

А. П. Веселов|ArXiv.org|May 2, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有限なコベクトル集合に課される幾何的条件（$\nabla$-条件）を同定し、$F^{\mathfrak{A}} = \sum_{\alpha \in \mathfrak{A}} (\alpha,x)^2 \log(\alpha,x)^2$ の形をした一般化 WDVV 方程式の解を保証する。この条件がコクセター系だけでなく、一般化されたカロジェロ＝モーザー系から得られる歪められた根系や、可積分シュレーディンガー作用素から得られる新しい構成に対しても満たされることを証明し、一般化 WDVV 方程式に対する新たな明示的解が得られることを示している。

ABSTRACT

A special class of solutions to the generalised WDVV equations related to a finite set of covectors is considered. We describe the geometric conditions ($\vee$-conditions) on such a set which are necessary and sufficient for the corresponding function to satisfy the generalised WDVV equations. These conditions are satisfied for all Coxeter systems but there are also other examples discovered in the theory of the generalised Calogero-Moser systems. As a result some new solutions for the generalized WDVV equations are found.

研究の動機と目的

• 有限なコベクトル集合に課される幾何的条件を同定し、一般化 WDVV 方程式の解を保証すること。
• 既知の解をコクセター系に限らないように拡張し、$\nabla$-条件を満たす新たな構成を同定すること。
• これらの構成を用いて、一般化 WDVV 方程式に対する明示的で新たな解を構成すること。
• 可積分系およびフォーブルス多様体の文脈における$\nabla$-系の幾何学的・代数的意義を調査すること。

提案手法

• 一般化 WDVV 方程式を満たす関数 $F^{\mathfrak{A}} = \sum_{\alpha \in \mathfrak{A}} (\alpha,x)^2 \log(\alpha,x)^2$ に対して、$\mathbb{R}^n$ 内の非同一直線でないコベクトルの有限集合に課される必要十分な幾何的制約として$\nabla$-条件を導入する。
• WDVV 方程式の行列形式を用いる：$F_i F_k^{-1} F_j = F_j F_k^{-1} F_i$、ここで $F_m$ は $F$ の $x^m$ に関するヘッセ行列である。
• 行列 $G = \sum_k \eta^k F_k$ を用いた不変形式を適用し、WDVV 条件を $\check{F}_i = G^{-1} F_i$ の可換性に還元する。
• 解の空間の幾何的構造を導くために、双線形形式 $F_a^\mathfrak{A} = \sum_{\alpha \in \mathfrak{A}} \frac{(\alpha,a)}{(\alpha,x)} \alpha \otimes \alpha$ を分析する。
• 既知の構成（根系、$A_n(m)$、$C_{n+1}(m,l)$ の変形、および可積分シュレーディンガー作用素から得られる新規の $A_k*A_l(\mu)$ 系）に対して$\nabla$-条件を検証する。
• パラメータを含む対数同次関数の形で明示的解を構成し、WDVV 方程式への直接的検証によりその妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限なコベクトル集合に課されるどのような幾何的条件が、関数 $F^{\mathfrak{A}} = \sum_{\alpha \in \mathfrak{A}} (\alpha,x)^2 \log(\alpha,x)^2$ が一般化 WDVV 方程式を満たすことを保証するか？
• RQ2 $\nabla$-条件はコクセター系を越えて成り立つのか、特に一般化カロジェロ＝モーザー系に由来する歪められた根系に対しても成り立つか？
• RQ3 可積分シュレーディンガー作用素から得られる構成（例：$A_k*A_l(\mu)$ 系）から、一般化 WDVV 方程式の新たな解を構成できるか？
• RQ4 線形変換の下で解が同値でないか、それらの幾何的不変量（例：コベクトル間の角度）によってどのように区別されるか？
• RQ5 $\nabla$-系は、フォーブルス多様体および可積分系の広い文脈において、どのような意義を持つのか？

主な発見

• $F^{\mathfrak{A}} = \sum_{\alpha \in \mathfrak{A}} (\alpha,x)^2 \log(\alpha,x)^2$ が一般化 WDVV 方程式を満たすための$\nabla$-条件は、必要かつ十分である。
• $\tilde{A}_n(m)$ および $\tilde{C}_{n+1}(m,l)$ の構成（$A_n$ および $C_{n+1}$ 根系の変形に対応）は $\nabla$-条件を満たし、一般化 WDVV 方程式の新たな解を与える。
• 可積分シュレーディンガー作用素から得られる新規の構成 $A_k*A_l(\mu)$ も $\nabla$-条件を満たし、次の新たな解族を生じる：$F = \sum_{i<j} (x_i - x_j)^2 \log(x_i - x_j)^2 + \sum_{p<q} \mu^2(y_p - y_q)^2 \log(y_p - y_q)^2 + \sum_{i,p} (\mu x_i - y_p)^2 \log(\mu x_i - y_p)^2$。
• 解 (4)、(5)、(7) は、コベクトル間の角度などの異なる不変幾何的データを示すため、線形変換の下で同値でない。
• $m=1$ のとき $A_n(m)$ 構成は古典的 $A_n$ 根系に還元され、$\mu = \pm 1$ のとき $A_k*A_l(\mu)$ 系は $A_{k+l+1}$ に還元され、既知のケースと整合的である。
• 本稿は、$\nabla$-条件が、さまざまな可積分系に共通する幾何的性質であることを確立し、locus 構成およびフォーブルス多様体の理論におけるより深い構造的背景を示唆している。