[論文レビュー] On Gerber-Shiu functions and optimal dividend distribution for a Lévy risk-process in the presence of a penalty function

Florin Avram, Zbigniew Palmowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2011

Probability and Risk Models参考文献 48被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、破産時のペナルティ関数と固定取引コストを伴うスプライス・ネガティブな Lévy リスク過程における最適配当配分問題を解いている。価値関数が関連するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式の一意な確率的解であることを確立し、Gerber–Shiu 関数を用いて単一配当バンド戦略の最適性に関する必要十分条件を同定し、保険リスク理論におけるこのクラスの確率的制御問題に対して完全な解析的解を提供している。

ABSTRACT

This paper concerns an optimal dividend distribution problem for an insurance company which risk process evolves as a spectrally negative L\'{e}vy process (in the absence of dividend payments). The management of the company is assumed to control timing and size of dividend payments. The objective is to maximize the sum of the expected cumulative discounted dividend payments received until the moment of ruin and a penalty payment at the moment of ruin which is an increasing function of the size of the shortfall at ruin; in addition, there may be a fixed cost for taking out dividends. A complete solution is presented to the corresponding stochastic control problem. It is established that the value-function is the unique stochastic solution and the pointwise smallest stochastic supersolution of the associated HJB equation. Furthermore, a necessary and sufficient condition is identified for optimality of a single dividend-band strategy, in terms of a particular Gerber-Shiu function. A number of concrete examples are analyzed.

研究の動機と目的

• 保険会社の純資産がスペクトル的にネガティブな Lévy プロセスに従う場合の最適配当配分問題を解くこと。
• 破産時のショートフォールの大きさに依存するペナルティ関数を導入し、破産に伴う財務的影響を反映させること。
• 配当支払いに伴う固定コストを考慮し、現実の取引摩擦をモデル化すること。
• 単一配当バンド戦略が最適となる条件を特定すること。その際、Gerber–Shiu 関数を主要な分析的ツールとして用いること。
• 価値関数が関連するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式の一意な確率的解であり、かつ点ごとの最小の確率的上界解であることを確立すること。

提案手法

• 破産時の吸収と不足額に依存するペナルティ関数を伴う、特異確率的制御問題として問題を定式化する。
• Lévy 生成子に基づく積分微分作用素を含む、最適価値関数を支配するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を導出する。
• スペクトル的にネガティブな Lévy プロセスに関連するスケール関数 $W^{(q)}$ を用いて価値関数を表現し、明示的解を導出する。
• 配当バンド戦略の最適性を特徴付けるための主要な分析的ツールとして、Gerber–Shiu 関数 $G(b^-, y)$ を導入する。
• 検証定理を適用して、価値関数が HJB 方程式の最小の確率的上界解であることを証明する。
• ラプラス変換とフィビニの定理を用いて、制御方策の単調性および最適性条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的にネガティブな Lévy リスク過程に破産ペナルティを伴う場合、単一配当バンド戦略が最適となる条件は何か？
• RQ2 固定取引コストの導入は、最適配当戦略の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Gerber–Shiu 関数は、配当バンド戦略の最適性を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ4 価値関数は、スケール関数 $W^{(q)}$ および Lévy プロセスの特性とどのように関係しているか？
• RQ5 価値関数は、HJB 方程式の一意な確率的解であり、かつ最小の確率的上界解として特徴付けられるか？

主な発見

• 価値関数は、関連するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式の唯一の確率的解であり、点ごとの最小の確率的上界解である。
• 単一配当バンド戦略の最適性のための必要十分条件は、Gerber–Shiu 関数 $G(b^-, y)$ を用いて表現され、具体的にはすべての $c > 0$ に対して $G(b^-, b^+ + c) < G(b^-, b^+)$ が成り立つことである。
• 最適性条件は、Gerber–Shiu 関数 $G(b^-, y)$ 及びその変換版 $G^\#(y)$ の最終的単調性と同値である。
• 固定コストがない場合（$K=0$）、ラプラス変換を用いて最適性条件が導出され、$\mathcal{L}g(\theta) \cdot \frac{\theta}{\psi(\theta) - q} = \frac{e^{\theta b^+}}{\psi(\theta) - q} \int_{[b^+,\infty)} e^{-\theta z} Z^{(q,\theta)'}(z) G(dz)$ が完全単調であることが示されている。
• 強マルコフ性と優越収束定理を用いた検証議論により、$|x-y| \to 0$ のときの $f_\varepsilon(x,y)$ の極限を用いて、価値関数の連続性が確立された。
• 有界変動の場合、推定式 $f_\varepsilon(x,y) \leq \text{sup}_{x\in[0,\delta]} V_w(x) - w(-\delta) \cdot E^y[e^{-q\tau_\delta^\pi} \mathbf{1}_{\{\tau_\delta^\pi < \tau_0^\pi\}}]$ の第二因子は、$\delta \to 0$ のとき 0 に近づき、これにより価値関数の連続性が保証された。