[論文レビュー] On Girsanov's transform for backward stochastic differential equations

Gechun Liang, Arnaud Lionnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形項に二次成長を伴う擬線形放物型偏微分方程式（PDE）の解に対して、後向き確率微分方程式（BSDE）の文脈において、ギルサノフの定理を用いて非線形カマロン＝マーチンの公式を確立する。測度変更による確率的表現を導出し、局所的確率的フローを構成し、伊藤のマルティンゲール表現および測度変更下での密度過程の不変性を用いて、ビズムト型の公式と勾配推定値を証明する。

ABSTRACT

By using a simple observation that the density processes appearing in Ito's martingale representation theorem are invariant under the change of measures, we establish a non-linear version of the Cameron-Martin formula for solutions of a class of systems of quasi-linear parabolic equations with non-linear terms of quadratic growth. We also construct a local stochastic flow and establish a Bismut type formula for such system of quasi-linear PDEs. Gradient estimates are obtained in terms of the probability representation of the solution. Another interesting aspect indicated in the paper is the connection between the non-linear Cameron-Martin formula and a class of forward-backward stochastic differential equations(FBSDEs).

研究の動機と目的

• 後向きSDE、FBSDE、非線形PDEの間でギルサノフの測度変更技術を統一すること。
• 非線形項に二次成長を伴う非線形設定への古典的カマロン＝マーチンの公式の拡張。
• リプシッツ的だが有界でない拡散係数を伴う擬線形放物型PDEの解の確率的表現を確立すること。
• 確率的フローおよびマルティンゲール表現を用いて、このような系におけるビズムト型の公式と勾配推定値を導出すること。
• 非線形カマロン＝マーチンの公式と前向き後向きSDE（FBSDE）との関係を明確にすること。

提案手法

• 測度変更下での伊藤のマルティンゲール表現定理における密度過程の不変性を活用し、非線形変換を導出する。
• ギルサノフの定理を用いて、BSDE枠組みにおけるブラウン運動を変換し、測度変更による解の表現を可能にする。
• 解 $Y(\theta)_t$ 及びその微分を駆動とするSDEを用いて、局所的確率的フロー $X(\theta)_t$ を構成する。
• 伊藤の公式を $Y_t^i = u^i(x + B_t, T - t)$ に適用し、後向きSDE系 $dY_t^i = -h^i(Y_t, Z_t)dt + \sum_j Z_t^{i,j} dB_t^j$ を導出する。
• 伊藤の表現定理を用いて、$Y_t$ のマルティンゲール部から $Z_t$ を回復させ、閉形式での解法可能性を保証する。
• 有界な適応過程のバナッハ空間における不動点の議論を用いて、変換された系の解の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項に二次成長を伴う擬線形PDEの拡散係数に対して、ギルサノフの定理をどのように非線形設定に一般化できるか。
• RQ2 非線形項が二次成長を伴う擬線形放物型PDEの解の確率的表現は何か。
• RQ3 非リプシッツ係数を伴うFBSDEと非線形カマロン＝マーチンの公式の関係は何か。
• RQ4 確率的フローおよび測度変更を用いて、非線形放物型系に対してビズムト型の公式を導出できるか。
• RQ5 測度不変の密度過程を用いた確率的表現を通じて、このような系の勾配推定値はどのように得られるか。

主な発見

• 非線形項に二次成長を伴うクラスの擬線形放物型PDEに対して、非線形カマロン＝マーチンの公式が確立された。
• 解 $u(x,t)$ は $u(x,t) = \mathbb{E}^\mathbb{P}[\xi_t(\cdot,x)]$ として表現され、ここで $\xi_t$ は測度変更により導かれた有界な適応過程である。
• ビズムト型の公式が証明された：$\nabla^j u(x,t) = \mathbb{E}^\mathbb{P}[\nabla^j \xi_t(\cdot,x)]$（$j=0,1,2$）、解の微分と条件付き期待値を結びつける。
• 確率的表現に基づく勾配推定値が得られ、$C_0$、$C_1$、$d$、および時間 $T$ に依存する境界を持つ。
• 十分に小さい $T$ に対して、$\mathbf{H}_T$ 内に一意の不動点 $\xi$ が存在し、解の表現の存在および一意性を保証する。
• 確率的フロー $X(\xi)_t$ は、$s \leq t \leq T$ に対して、$u(x + \tilde{B}(\xi)_s, t-s) = Y(\xi)_s$ および $\nabla u(x + \tilde{B}(\xi)_s, t-s) = Z(\xi)_s$ almost surely を満たす。