[論文レビュー] On global existence and blowup of solutions of stochastic Keller-Segel type equation

Oleksandr Misiats, Oleksandr Stanzhytskyi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2021

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、乗法的ノイズを伴う確率的 Keller–Segel 方程式を調査し、ノイズが発散型である場合には初期データが小さいときには解が大域的に存在することを証明している。一方、非発散型ノイズでは、正の確率で有限時間 blowup を引き起こす。主な貢献は、ノイズ構造が大域的解の存在と blowup を決定づける重要な役割を果たすことを確立したことであり、一般のノイズ条件下での連続的依存性および局所的強い解の存在についても厳密な証明がなされている。

ABSTRACT

In this paper we consider a stochastic Keller-Segel type equation, perturbed with random noise. We establish that for special types of random pertubations (i.e. in a divergence form), the equation has a global weak solution for small initial data. Furthermore, if the noise is not in a divergence form, we show that the solution has a finite time blowup (with nonzero probability) for any nonzero initial data. The results on the continuous dependence of solutions on the small random perturbations, alongside with the existence of local strong solutions, are also derived in this work.

研究の動機と目的

• 異なるノイズ構造が確率的 Keller–Segel 方程式の解の大域的解の存在と blowup 動態に与える影響を分析すること。
• ノイズが発散型である場合に、初期データが小さいときの弱解の大域的解の存在を確立すること。
• 非発散型ノイズが、初期質量が小さくても非ゼロの確率で有限時間 blowup を引き起こすことを証明すること。
• 小さな確率的摂動に対する解の連続的依存性を導出すること。
• 一般のリプシッツノイズ仮定の下で局所的強い解の存在を確立すること。

提案手法

• 発散型ノイズ（Φ(ρ, ∇ρ) dW = σ∇ρ dW）と一般の非発散型ノイズ（Φ(ρ) dW）の2種類のノイズタイプを伴う確率的 Keller–Segel 方程式を定式化する。
• 摂動された解と決定的解の差のLpノルムに伊藤の公式を適用し、エネルギー型推定を得る。
• グローワルの不等式と補間推定を用いて、解の差のLpノルムを制御し、ノイズ強度に対する連続的依存性を証明する。
• ソボレフ埋め込みとW^{3+α,2} → C^{2,α}の正則性を用いて、ポテンシャルの勾配をバインドし、非線形項を制御する。
• 小さな初期データと発散型ノイズの下で、収縮法と事前推定を用いて大域的弱解を確立する。
• エネルギー推定と非線形項の符号条件を用いて blowup を分析し、非発散型ノイズが初期質量が小さくても解を不安定化させることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散型ノイズを伴う確率的 Keller–Segel 方程式が、初期データが小さいとき、どのような条件下で大域的弱解を有するか？
• RQ2 非発散型ノイズが、初期質量が小さくても有限時間 blowup を引き起こす可能性があるか？
• RQ3 ノイズ係数の小さな確率的摂動に対して、解はどのように連続的に依存するか？
• RQ4 ノイズ構造（発散型対非発散型）が、解の長期的挙動を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 一般のリプシッツノイズ仮定の下で、局所的強い解の存在は成立するか？

主な発見

• 発散型ノイズの下では、事前推定と収縮法を用いて、初期データが小さいときの大域的弱解が存在することが示された。
• 非発散型ノイズの下では、初期質量がどれほど小さくても、正の確率で解が有限時間に blowup する。
• 解は小さな確率的摂動に対して連続的に依存し、E[sup_{t∈[0,T]} ||ρε − ρ*||_p^p] → 0（ε → 0）が成り立つ。
• 一般のリプシッツノイズ係数に対して、伊藤の公式とエネルギー推定を用いて局所的強い解の存在が確立された。
• blowup 結果は鋭い：非発散型ノイズの下では、初期データが小さくても blowup が生じるため、このようなノイズが解を不安定化させることが強調される。
• 解析により、ノイズ構造が解の挙動を根本的に変えることが確認された—発散型ノイズは大域的解の存在を支持するが、非発散型ノイズは blowup を引き起こす。