[論文レビュー] On global existence and trend to the equilibrium for the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system with exterior confining potential

Frédéric Hérau, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 25被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、d=2およびd=3次元におけるVlasov-Poisson-Fokker-Planck系について、大きな外部の束縛ポテンシャルと小さな非線形性を仮定したもとで、Fokker-Planck半群の鋭い短期および長期的推移の見積もりに基づく固定点法を用いて、解の全球的存在および平衡状態への収束を確立する。主な貢献は、従来は小さなポテンシャルに限られていた、大規模な束縛ポテンシャルを有する場合の全球的存在および平衡状態への傾向の拡張である。

ABSTRACT

We prove a global existence result with initial data of low regularity, and prove the trend to the equilibrium for the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system with small non linear term but with a possibly large exterior confining potential in dimension $d=2$ and $d=3$. The proof relies on a fixed point argument using sharp estimates (at short and long time scales) of the semi-group associated to the Fokker-Planck operator, which were obtained by the first author.

研究の動機と目的

• 外部の束縛ポテンシャルが大きい場合のVlasov-Poisson-Fokker-Planck系の解の全球的存在を確立すること。
• 小さな非線形性の下での系の平衡状態への傾向を分析すること。
• 従来の全球的存在および平衡状態への収束に関する結果を、束縛ポテンシャルが小さい場合に限らない状況へと拡張すること。
• 長時間挙動の解析において、非自己共役作用素および特異ポテンシャルの課題を克服すること。
• 弱い非線形性、束縛された系の粒子の確率的相互作用を有する系の動的挙動を厳密に記述するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 小さな非線形性のもとで、固定点法を用いて全球的解を構成する。
• 第一著者が導出したFokker-Planck半群の鋭い短期および長期的見積もりを用い、線形化された運動を制御する。
• 外部の束縛ポテンシャルが存在するもとで、非自己共役Fokker-Planck作用素を解析する。
• 低正則性の初期データを取り扱うために関数解析的手法を適用する。
• 短期および長期の両時間領域における見積もりを統合し、解の軌道全体にわたる一様な制御を確保する。
• Vlasov-Poisson-Fokker-Planck系の構造を活用して、線形項と非線形項の寄与を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部の束縛ポテンシャルが大きくても、非線形性が小さい場合にはVlasov-Poisson-Fokker-Planck系の全球的解を構成できるか？
• RQ2 このような条件下でも、系は平衡状態への傾向を示すのか？
• RQ3 Fokker-Planck作用素に対する鋭い半群見積もりが、大きな束縛ポテンシャルのもとで長時間挙動をどのように制御可能にするか？
• RQ4 Fokker-Planck作用素の非自己共役性は、安定性および収束解析においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 この非線形的かつ非コンパクトな設定において、固定点法を低正則性の初期データに適応可能か？

主な発見

• d=2およびd=3次元において、低正則性の初期データに対しても解の全球的存在が確立された。
• 非線形性が小さい場合、たとえ束縛ポテンシャルが大きくても、系は平衡状態への傾向を示す。
• 非線形反復の制御に、Fokker-Planck半群の短期および長期的見積もりが鋭く必要不可欠である。
• 固定点法は、線形化された作用素の非自己共役性および特異性をうまく扱えた。
• 従来の存在および収束結果が、ポテンシャルが必ずしも小さいとは限らない場合へと拡張された。
• 解析により、強い外部束縛のもとでも長時間挙動は平衡状態によって支配されることを確認した。