[論文レビュー] On global Hölder estimates for optimal transportation

Alexander V. Kolesnikov|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポテンシャル関数の弱い凸性および成長条件の下で、対数凸確率測度間の最適輸送写像のグローバル・ホルダー連続性評価を確立する。$ V $ の2階差分商に関する仮定と $ W $ の凸性モジュラスに関する仮定の下で、輸送写像 $ T $ が次元に依存しない定数を用いてグローバルに $ \frac{p+1}{q+1} $-ホルダー連続であることを証明し、カファレリのリプシッツ結果をより広いホルダー領域へ拡張する。

ABSTRACT

We generalize a well-known result of L. Caffarelli on Lipschitz estimates for optimal transportation $T$ between uniformly log-concave probability measures. Let $T : \R^d o \R^d$ be an optimal transportation pushing forward $μ= e^{-V}dx$ to $ν= e^{-W}dx$. Assume that 1) the second differential quotient of $V$ can be estimated from above by a power function, 2) modulus of convexity of $W$ can be estimated from below by $A_q |x|^{1+q}$, $q \ge 1$. Under these assumptions we show that $T$ is globally Hölder with a dimension-free coefficient. In addition, we study optimal transportation $T$ between $μ$ and the uniform measure on a bounded convex set $K \subset \R^d$. We get estimates for the Lipschitz constant of $T$ in terms of $d$, ${diam(K)}$ and $D V, D^2 V$.

研究の動機と目的

• 最適輸送写像のカファレリのリプシッツ評価を、グローバル・ホルダー連続性枠組みへ一般化すること。
• ポテンシャル関数の成長および凸性条件の下で、一様に対数凸な測度間の最適輸送写像の次元に依存しないホルダー正則性を確立すること。
• 輸送写像のホルダー正則性に基づいて、ターゲット測度の濃縮不等式を導出すること。
• 有界な凸集合上の一様測度への最適輸送のリプシッツ定数を、次元と直径の観点から分析すること。

提案手法

• ポテンシャル $ V $ の2階差分商に関する条件を導入：$ 0 \leq p \leq 1 $ に対して $ V(x+y) + V(x-y) - 2V(x) \leq A_p |y|^{p+1} $。
• ポテンシャル $ W $ の凸性モジュラスに対する下界を課す：$ q \geq 1 $ に対して $ W(x+y) + W(x-y) - 2W(x) \geq A_q |y|^{q+1} $。
• 輸送写像 $ T = \nabla\varphi $ と密度 $ \mu = e^{-V}dx $、$ \nu = e^{-W}dx $ の関係を、モンジュ＝アンペール方程式 $ \rho_2(\nabla\varphi) \det D^2\varphi = \rho_1 $ を用いて記述する。
• 完全非線形偏微分方程式理論からの事前評価、特にモンジュ＝アンペール方程式の解のホルダー評価を応用する。
• 凸性および $ W $ の成長を定量化するための補助関数 $ b(t) $ と $ \delta(t) $ を導入し、凸共役 $ b^* $ を用いて関数不等式を導出する。
• タラグランド型および修正ログソボレフ型不等式を用いて、ターゲット測度 $ \nu $ の濃縮性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル $ V $ および $ W $ にどのような条件下で最適輸送写像 $ T $ はグローバルにホルダー連続となるか？
• RQ2 ポテンシャル $ V $ が2階差分のべき乗型上界を満たし、$ W $ が凸性モジュラスに下界を持つとき、$ T $ の次元に依存しないホルダー正則性を確立できるか？
• RQ3 ホルダー指数がポテンシャルの成長パラメータ $ p $ および $ q $ に対してどのように依存するか？
• RQ4 写像 $ T $ のホルダー評価は、ターゲット測度 $ \nu = e^{-W}dx $ の濃縮不等式にどのように寄与するか？
• RQ5 有界な凸集合 $ K \subset \mathbb{R}^d $ 上の一様測度への対数凸測度からの最適輸送のリプシッツ定数は何か？次元 $ d $ および $ \text{diam}(K) $ に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 仮定 $ V(x+y)+V(x-y)-2V(x) \leq A_p |y|^{p+1} $ および $ W(x+y)+W(x-y)-2W(x) \geq A_q |y|^{q+1} $ が $ 0 \leq p \leq 1 \leq q $ を満たすとき、最適輸送写像 $ T $ は、$ p, q, A_p, A_q $ のみに依存する定数を用いてグローバルに $ \frac{p+1}{q+1} $-ホルダー連続である。
• 測度 $ \nu = e^{-W}dx $ が $ W(x+y)+W(x-y)-2W(x) \geq C_\beta |y|^{2\beta} $ を $ \beta \geq 1 $ で満たすとき、すべての $ r > 0 $ に対して濃縮不等式 $ \nu(B_r) \geq 1 - e^{-C|r|^{2\beta}} $ が成り立つ。ここで $ C $ は $ \beta, C_\beta $ のみに依存する。
• 標準ガウス測度から有界な凸集合 $ K \subset \mathbb{R}^d $ 上の一様測度への最適輸送は、ある普遍定数 $ C $ を用いて $ C \sqrt{d} \cdot \text{diam}(K) $-リプシッツである。
• 凸関数 $ W $ に対して、ガウス測度から $ \nu = e^{-W}dx $ への最適輸送 $ T = \nabla\varphi $ は、$ |\nabla\varphi(x) - \nabla\varphi(y)| \leq 8 \delta^{-1}(4|x-y|^2) $ を満たす。ここで $ \delta(t) = \inf_{\|y\| \geq t} \{ W(x+y) + W(x-y) - 2W(x) \} $ である。
• 測度 $ \nu $ は、すべての $ r > 0 $ に対して $ \nu(B_r) \geq 1 - \frac{1}{2} \exp\left( -\frac{1}{8} \delta(r/8) \right) $ を満たす。ここで $ B $ は $ \nu(B) \geq 1/2 $ を満たす任意の集合である。
• すべての $ r > 0 $ に対して、濃縮境界 $ \nu(A_r) \geq 1 - 2e^{-2\tilde{b}(r/2)} $ が成り立つ。ここで $ \tilde{b} $ は関数 $ b(t) = \inf_{\|y\| \geq t} \{ W(x+y) - W(x) - \langle \nabla W(x), y \rangle \} $ の最大の凸下界である。