[論文レビュー] On global inverse and implicit functions

Olivia Gutú|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間間の非線形フレドホルム作用素に対して、非負のインデックスを有するグローバル逆関数定理を確立する。ハダマードの積分条件を、全射指標を用いたメトリック条件によって無限次元設定に拡張する。作用素 $ f $ がサブメルジョンであるとき、$ \varrho(r) = \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho $ であり、$ \eta(\rho) $ が全射指標によって定義されるならば、$ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ が成り立ち、メトリック制御のもとで局所的可逆性がグローバルに拡張されることを保証する。

ABSTRACT

Since the Hadamard Theorem, several metric and topological conditions have emerged in the literature to date, yielding global inversion and implicit theorems for functions in different settings. Relevant examples are the mappings between infinite-dimensional Banach-Finsler manifolds, which are the focus of this work. Emphasis is given to the nonlinear Fredholm operators of nonnegative index between Banach spaces. The results are based on good local behavior of $f$ at every $x$, namely: $f$ is a local homeomorphism or $f$ is locally equivalent to a projection. The general structure includes a condition that ensures a global property for the fibres of $f$, ideally, expecting to conclude that $f$ is a global diffeomorphism or equivalent to a global projection. A review of such these results and some relationships between different criteria are shown. Also, in this context, a global version of Graves Theorem is obtained.

研究の動機と目的

• 無限次元設定、特にバナッハ空間間の非線形フレドホルム作用素に対して、ハダマードのグローバル逆関数定理を一般化すること。
• 局所ホメオモルフィズムまたはサブメルジョンがグローバル微分同相写像またはグローバル射影写像であることを保証する十分なメトリック的および位相的条件を確立すること。
• 全射指標 $ \eta(\rho) $ を用いて半径 $ \varrho(r) $ を推定し、$ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ を満たすグローバル版のグレイブズの定理を提供すること。

提案手法

• 全射指標 $ \eta(\rho) = \inf_{\|x-x_0\|=\rho} \text{Sur}\,df(x) $ を用いて、グローバル可逆性のためのメトリック条件を定義する。
• 局所リプシッツ連続な右逆写像 $ s $ を用いたパスリフトリング性質を適用し、$ \partial_t q = s(q)w $ を満たす半フロー $ q(t,x,w) $ を構成する。
• 局所逆写像を経路に沿って延長するモノドロミー型の議論を用い、局所逆写像のグローバル拡張を保証する。
• $ \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho = \varrho(r) $ という条件を課すことにより、$ f $ による球 $ B_r(x_0) $ の像が球 $ B_{\varrho}(f(x_0)) $ を含むことを保証する。
• バナッハ＝フィンスラー多様体の完備性と初期値に対する解の連続的依存性に依拠し、半フロー $ q(t,x,w) $ の最大存在を保証する。
• 背理法を用いて、半フローが $ t \in [0,1) $ で $ B_r(x_0) $ 内に留まり、$ |w| < \varrho(r) $ のとき解が $ t=1 $ を超えて拡張可能であることを証明する。最大性に反するため、これは矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ＝フィンスラー多様体間の局所ホメオモルフィズムがグローバル微分同相写像であるための、どのようなメトリック的および位相的条件が必要か？
• RQ2 全射指標 $ \eta(\rho) $ を用いて、ハダマードの積分条件を無限次元設定に一般化できるか？
• RQ3 サブメルジョン $ f $ に対して、$ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ が成り立つような正確な半径 $ \varrho(r) $ は何か？ そしてそれは全射指標とどのように関係するか？
• RQ4 $ \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho = \varrho(r) $ という条件が、パスリフトリングと半フローの継続によってどのようにグローバル可逆性を保証するか？
• RQ5 グローバル逆関数定理において、パライス＝スメイド条件や類似のコンパクト性基準を、どのような程度までメトリック条件に置き換えられるか？

主な発見

• 本稿は、$ \eta(\rho) = \inf_{\|x-x_0\|=\rho} \text{Sur}\,df(x) $ ならば、$ \varrho(r) = \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho $ が $ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ を満たすことを証明し、グレイブズの定理のグローバル版を提供する。
• $ |w| < \varrho(r) $ のとき、パス $ p(t) = f(x_0) + tw $ は $ B_r(x_0) $ 内のパス $ q(t,x_0,w) $ にリフト可能であり、$ f(q(1,x_0,w)) = f(x_0) + w \in f(B_r(x_0)) $ が保証される。
• 半フロー $ q(t,x,w) $ はすべての $ t \in [0,1) $ に対して存在し、$ f(q(t,x,w)) = f(x) + tw $ を満たし、$ |w| < \varrho(r) $ のとき、すべての $ t \in [0,1) $ で $ d_X(q(t,x,w),x_0) < r $ が成り立つ。
• $ \eta(r) > 0 $ ならば、解は $ B_r(x_0) $ 内に留まり、最大区間 $ J(x_0,w) $ は $ t=1 $ を超える。$ b(x_0,w) \leq 1 $ ならば、これは最大性に反する。
• $ \eta(r) = 0 $ の場合でも、$ \eta(r') > 0 $ となるような $ r' < r $ を用いて近似することで、結果は依然として成り立つ。このとき $ \varrho(r) = \int_0^{r_0} \eta(\rho)\,d\rho $ とし、$ r_0 = \sup\{\rho > 0 : \eta(\rho) > 0\} $ と定める。
• 全射指標 $ \eta(\rho) $ は、有限次元におけるヤコビアン行列式の下界のメトリック的一般化として機能し、ハダマード型定理を無限次元設定へ拡張可能である。