[論文レビュー] On global solutions to a viscous compressible two-fluid model with unconstrained transition to single-phase flow in three dimensions

Huanyao Wen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元における粘性圧縮性二相流モデルに対して、片方の相が点で消失する場合を含め、単相流への非制限的移行を許容する場合の、グローバルで有限エネルギーの弱解の存在を確立する。主な革新点は、圧縮率が非単調的かつ多成分である圧力則に起因する課題を克服するための新規な圧力低減技術とドメイン分離法であり、断熱定数や密度比に制約を課さない。

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem for a compressible two-fluid model in three dimensions, and obtain the global existence of weak solution with large initial data and independent adiabatic constants Γ,γ>=9/5. The pressure functions are of two components solving the continuity equations. Two typical cases for the pressure are considered, which are motivated by the compressible two-fluid model with possibly unequal velocities [3] and by a limiting system from the Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system [27] (see also some other relevant models like compressible MHD system for two-dimensional case [24] and compressible Oldroyd-B model with stress diffusion [1]). The lack of enough regularity for the two densities turns out some essential difficulties in the two-component pressure compared with the single-phase model, i.e., compressible Navier-Stokes equations. In this paper, the global existence theory does not require any domination conditions for the initial densities, which implies that transition to each single-phase flow is allowed.

研究の動機と目的

• 大規模で、おそらく不連続な初期データを伴う3次元における粘性圧縮性二相流モデルに対するグローバル弱解の存在を確立すること。
• 二相流から単相流への非制限的移行、特に点または領域で片方の相が消失する場合を許容すること。
• 従来の研究で要請されていた断熱定数や密度比に関する制約を排除すること。
• 2次元における抵抗率なしの圧縮性MHD系の理論への拡張を副次的に行うこと。
• 密度推定におけるコンパクト性を妨げる二成分圧力関数の正則性欠如に対処すること。

提案手法

• 人工粘性と人工圧力を用いたファエド＝ガレルキン近似スキームを用いる。
• 二成分圧力関数 $ P(n,\rho) = n^\rho + \rho^\rho $ に対する変数低減技術を採用し、非単調的挙動の制御を可能にする。
• 切断関数 $ T_k(\rho), T_k(n) $ を用いたドメイン分離を適用し、高密度領域を分離し、弱収束を管理する。
• $ n^{\rho+\theta_1}, \rho^{\rho+\theta_2} $ に対する $ L^1 $ における一様有界性を確立し、特異性を制御し、コンパクト性を可能にする。
• $ z \mapsto z\log z $ の凸性と弱下半連続性を用い、$ \rho, n $ が $ L^{\gamma_1} $ および $ L^{\Gamma_1} $ で強収束することを証明する。ここで $ \gamma_1 < \gamma + \theta_2 $, $ \Gamma_1 < \Gamma + \theta_1 $ である。
• 圧力の単調性仮定なしに密度のコンパクト性を達成するため、エントロピー型推定を通じてブレスチ＝ジャビン法を間接的に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模で、おそらく不連続な初期データと非制限的相転移を伴う3次元圧縮性二相流モデルに対して、グローバル弱解が存在しうるか？
• RQ2 断熱定数 $ \gamma, \Gamma $ 間、あるいは二相モデルにおける密度比に制約を課さずに、それらを排除することは可能か？
• RQ3 圧力が非単調的かつ多成分である場合、密度のコンパクト性はどのように確立できるか？
• RQ4 二相流モデルは、2次元における抵抗率なしの圧縮性MHD系を統一的フレームワークとして扱えるか？
• RQ5 二成分圧力関数の正則性欠如に対処するために、どのような新しい解析的手法が必要か？

主な発見

• 大規模で、おそらく不連続な初期データを伴う3次元圧縮性二相流モデルに対して、グローバルで有限エネルギーの弱解が存在する。
• モデルは、片方の相が点または領域で消失する場合を含め、単相流への非制限的移行を許容する。$ \gamma, \Gamma $ や密度比に制約がない。
• 二成分圧力 $ P(n,\rho) = n^\Gamma + \rho^\gamma $ は、単調性や凸性を仮定しなくても、存在証明に支障をきたさない。
• 任意の $ \gamma_1 < \gamma + \theta_2 $, $ \Gamma_1 < \Gamma + \theta_1 $ に対して、$ \rho $ と $ n $ が $ L^{\gamma_1}(Q_T) $ および $ L^{\Gamma_1}(Q_T) $ で強収束することが確立される。ここで $ \theta_1, \theta_2 > 0 $ である。
• 本手法により、非負の垂直磁場下で2次元圧縮性MHD系に対してもグローバル弱解が得られ、副次的成果として得られる。
• 密度のコンパクト性は、新規な圧力低減技術とドメイン分離により達成され、二成分圧力関数の正則性欠如を克服した。