[論文レビュー] On Goodness-of-fit Testing for Ergodic Diffusion Process with Shift Parameter

Ilia Negri, Li Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ドリフトに未知のシフトパラメータを含むエルゴディック拡散過程に対する、2種類のCramér-von Mises型適合度検定を提案する。局所時刻および経験的分布関数推定量を用いた最尤推定を駆使することで、両検定統計量がパラメータに依存しない極限分布に弱収束することを確立し、未知のシフトパラメータにかかわらず漸近的有効性が保証される。

ABSTRACT

A problem of goodness-of-fit test for ergodic diffusion processes is presented. In the null hypothesis the drift of the diffusion is supposed to be in a parametric form with unknown shift parameter. Two Cramer-Von Mises type test statistics are studied. The first one is based on local time estimator of the invariant density, the second one is based on the empirical distribution function. The unknown parameter is estimated via the maximum likelihood estimator. It is shown that both the limit distributions of the two test statistics do not depend on the unknown parameter, so the distributions of the tests are asymptotically parameter free. Some considerations on the consistency of the proposed tests and some simulation studies are also given.

研究の動機と目的

• パラメトリックなドリフトモデルに未知のシフトパラメータを含むエルゴディック拡散過程に対する適合度検定を開発すること。
• 未知パラメータが存在するにもかかわらず、検定統計量が漸近的に分布に依存しない（APF）ことを保証すること。
• 不変密度の局所時刻推定量に基づく統計量と、経験的分布関数に基づく統計量の2つの検定統計量を比較すること。
• 帰無仮説の下では一般の代替仮説に対して検定の一致性を確立すること。
• オーナイズ・ウーレンバック過程の設定において、シミュレーションスタディを通じて手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 連続時間観測によるエルゴディック拡散過程 dX_t = S(X_t)dt + dW_t の取り扱い。
• 帰無仮説 H0: S(x) = S*(x - θ) を定式化し、未知のシフト θ ∈ Θ を想定。
• 未知のシフトパラメータ θ の最尤推定（MLE）を採用。
• 2つの検定統計量を構築：不変密度の局所時刻推定量に基づく δ_T と、経験的分布関数に基づく Δ_T。
• 両検定統計量の弱収束を示し、極限分布が未知パラメータ θ に依存しないことを理論的に導出。
• 理論的導出およびオーナイズ・ウーレンバック過程におけるシミュレーションを通じて、漸近的分布フリー性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトに未知のシフトパラメータを含むエルゴディック拡散過程に対する適合度検定が、漸近的にパラメータフリーのままであるか。
• RQ2 局所時刻推定量および経験的分布関数推定量に基づくCramér-von Mises型統計量が、帰無仮説下でもパラメータフリーの極限分布を保持するか。
• RQ3 真のドリフトがシフトされたドリフトのパラメトリック族に属さない一般の代替仮説に対して、提案手法の検定が一貫性を示すか。
• RQ4 オーナイズ・ウーレンバック過程の特定のケースにおいて、検定統計量は帰無仮説および代替仮説下でどのように振る舞うか。
• RQ5 有限標本における統計量の性質と臨界値は何か。また、それらをどのようにシミュレートできるか。

主な発見

• 両検定統計量 δ_T および Δ_T は、未知のシフトパラメータ θ に依存しない極限分布に弱収束するため、漸近的パラメータフリー性が保証される。
• δ_T の極限分布は δ = ∫_{-∞}^{∞} ξ_1(x)^2 dx で与えられ、ここで ξ_1(x) は標準ブラウン運動を含むガウス過程である。
• Δ_T の極限分布は Δ = ∫_{-∞}^{∞} ξ_2(x)^2 dx で与えられ、ここで ξ_2(x) は密度関数および分布関数を含むストラスコット積分によって定義される。
• 検定は一貫性を有する：代替仮説下では、検定統計量は確率的に無限大に収束し、極限でパワー1を達成する。
• シミュレーションスタディにより理論的結果が妥当であることが確認され、δ および Δ の経験的分位数が、さまざまな有意水準における理論的閾値と一致している。
• オーナイズ・ウーレンバック過程では、シフトパラメータのMLEが明示的に計算可能であり、両検定統計量の極限過程が閉形式で導出可能である。