[論文レビュー] On Graphs of Isogenies of Principally Polarizable Abelian Surfaces and the Discrete Logarithm Problem.

Dimitar Jetchev, Benjamin Wesolowski|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Coding theory and cryptography被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限体上の主に極化的で通常のアーベル・サーフェスのイソogenyグラフを構築し、一般化されたリーマン予想の下でその急速な混合性を証明する。これらのグラフと最近の genus 2 のイソogeny計算アルゴリズムを用いて、自己同型の環が最大であるようなそのクラスにおける離散対数問題のランダム自己還元性を確立するとともに、Galbraithのイソogeny計算アルゴリズムのヒューリスティクスを排除し、genus 2 へ一般化する。

ABSTRACT

We construct certain isogeny graphs of principally polarized ordinary abelian surfaces over finite fields and prove (under the Generalized Riemann Hypothesis) rapid mixing properties for these graphs. We use these graphs, together with a recent algorithm of Dudeanu, Jetchev and Robert for computing explicit isogenies in genus 2, to prove ran- dom self-reducibility of the discrete logarithm problem within the subclass of principally polarizable ordinary abelian surfaces with maximal endomorphism ring. In addition, we remove the heuristics in the complexity analysis of an algorithm of Galbraith for explicitly computing isogenies between two elliptic curves in the same isogeny class and generalize it in genus 2.

研究の動機と目的

• 有限体上の主に極化的で通常のアーベル・サーフェスのイソogenyグラフの構造と混合性を分析すること。
• 自己同型の環が最大である主に極化的で通常のアーベル・サーフェスのクラスにおける離散対数問題のランダム自己還元性を証明すること。
• 楕円曲線のイソogeny計算アルゴリズムであるGalbraithのアルゴリズムの複雑性解析におけるヒューリスティクス仮定を排除すること。
• 最近の明示的イソogeny計算の進展を活用して、Galbraithのアルゴリズムを genus 2 の設定に一般化すること。
• アーベル・サーフェス上でのイソogenyベースの暗号の安全性の基盤を確立すること。

提案手法

• 有限体上の超特異的および通常の主に極化的なアーベル・サーフェスに基づいてイソogenyグラフを構築する。
• 一般化されたリーマン予想を適用して、これらのイソogenyグラフ上のランダムウォークの急速な混合性を証明する。
• Dudeanu, Jetchev, および Robert の genus 2 における明示的イソogeny計算アルゴリズムを統合し、イソogenyグラフの効率的走査を可能にする。
• 混合性の性質と明示的イソogeny計算を用いて、離散対数問題のランダム自己還元性を示す。
• ヒューリスティクスに依存しない再分析を通じて、楕円曲線のイソogenyのGalbraithのアルゴリズムを、genus 2 へ拡張する。
• 自己同型の環が最大であるという条件を活用して、考察対象のアーベル・サーフェスクラスの構造的剛性と暗号的関連性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリーマン予想の下で、主に極化的で通常のアーベル・サーフェスのイソogenyグラフは急速に混合するか？
• RQ2 そのようなアーベル・サーフェスの有理点の群における離散対数問題は、ランダムに自己還元可能と示せるか？
• RQ3 Galbraithのイソogeny計算アルゴリズムのヒューリスティカルな複雑性解析は、除去され、厳密な境界に置き換えられるか？
• RQ4 楕円曲線のGalbraithのアルゴリズムは、どの程度 genus 2 の設定に一般化可能か？
• RQ5 自己同型の環が最大であるアーベル・サーフェスのどの構造的性質が、イソogenyベースの暗号の安全性を支えているか？

主な発見

• 有限体上の主に極的な通常のアーベル・サーフェスのイソogenyグラフは、一般化されたリーマン予想の下で急速に混合する。
• 自己同型の環が最大である主に極的な通常のアーベル・サーフェスのクラス内では、離散対数問題はランダムに自己還元可能である。
• Galbraithのイソogeny計算アルゴリズムの複雑性解析は、もはやヒューリスティクスに依存せず、厳密なものとなった。
• Galbraithのアルゴリズムは、genus 2 の設定に成功して一般化され、同じイソogenyクラスに属するアーベル・サーフェス間の明示的イソogeny計算を可能にした。
• 急速な混合性と明示的イソogeny計算の組み合わせにより、イソogenyベースのシステムにおけるより強い暗号的保証が得られた。
• 自己同型の環が最大である条件により、考察対象のアーベル・サーフェスクラスは構造的に制約されており、同時に暗号的にも関連性があることが保証された。