[論文レビュー] On Gravity, Holography and the Quantum

Carsten van de Bruck|ArXiv.org|Jan 17, 2000

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ホログラフィー原理——つまり、バルクの重力が境界に符号化される——が、一般化された確率的量力学化プロセスから生じることを提案する。確率的量力学化における架空の時間座標を、曲がった時空における空間的径方向座標と解釈することで、その結果が得られる。主な結果は、バルクから境界理論への写像が、位置に依存する拡散係数と散逸係数をもつFokker–Planck方程式によって支配されることであり、形式は膨張する時空では破綻する。これは、量子自由度が根本的ではなく、情報損失を伴うより深い古典的プロセスから生じるという't Hooftの見解を支持する。

ABSTRACT

The holographic principle states that the number of degrees of freedom describing the physics inside a volume (including gravity) is bounded by the area of the boundary (also called the screen) which encloses this volume. A stronger statement is that these (quantum) degrees of freedom live on the boundary and describe the physics inside the volume completely. The obvious question is, what mechanism is behind the holographic principle. Recently, 't Hooft argued that the quantum degrees of freedom on the boundary are not fundamental. We argue that this interpretation opens up the possibility that the mapping between the theory in the bulk (the holographic theory) and the theory on the screen (the dual theory) is always given by a (generalized) procedure of stochastic quantization. We show that gravity causes differences to the situation in Minkowski/Euclidean spacetime and argue that the fictitious coordinate needed in the stochastic quantization procedure can be spatial. The diffusion coefficient of the stochastic process is in general a function of this coordinate. While a mapping of a bulk theory onto a (quantum) boundary theory can be possible, such a mapping does not make sense in spacetimes in which the area of the screen is growing with time. This is connected to the average process in the formalism of stochastic quantization. We show where the stochastic quantization procedure breaks down and argue, in agreement with `t Hooft, that the quantum degrees of freedom are not fundamental degrees of freedom. They appear as a limit of a more complex process.

研究の動機と目的

• ホログラフィー原理が示唆するように、古典的バルク重力理論から量子境界理論への普遍的なマッピングを特定すること。
• 確率的量力学化が、重力時空においてバルク理論と境界理論の間で一貫的かつ一意なマッピングを提供できるかどうかを調査すること。
• 特に境界領域の面積が増加する宇宙論的時空において、確率的量力学化形式がどのような条件下で破綻するかを特定すること。
• 量子自由度の物理的起源を検討し、それらが根本的ではなく、情報損失を伴うより深い古典的プロセスから生じると主張すること。

提案手法

• 架空の時間座標を空間的径方向座標（r）として再解釈した、高次元時空における確率的プロセスを定式化。動的挙動はLangevin方程式によって支配される。
• 位置に依存する拡散係数Γ(r)と散逸係数α(r)を含む、確率分布P(φ, r)のFokker–Planck方程式を導出。フラクチュエーション・散逸定理がΓ(r) = α(r)を満たすように強制される。
• P(φ, r) = exp(−S_E(φ(x,r))) / Z の形の解を仮定し、有効作用と拡散係数に制約を課す。
• 調和作用S_E = ½m²φ²をもつゼロ次元モデルを用いて相関関数⟨φ²⟩を導出し、r → ∞ においてパス積分の結果に収束することを示す。
• Γ(r) = p√|g| を自然なアンザッツとして提示。テンソル密度の変換性とAdSおよびミンコフスキー時空における一貫性に裏付けられる。
• 境界面積が時間とともに増加する時空では、確率的量力学化における平均プロセスが定義不能になるため、形式が破綻することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的バルク理論（重力付き）から量子境界理論への普遍的なマッピングを、確率的量力学化を用いて導出可能か？
• RQ2 重力を含めた場合、ミンコフスキーまたはユークリッド時空における標準的確率的量力学化手順はどのように変化するか？
• RQ3 高次元時空における空間的径方向座標と解釈された確率的量力学化の架空座標が果たす物理的役割は何か？
• RQ4 特に宇宙論的時空において、確率的量力学化形式が破綻する条件は何か？
• RQ5 古典的ダイナミクスから生じる量子自由度の出現は、量子力学が根本的でないという't Hooftの仮説を支持するか？

主な発見

• 確率的プロセスのFokker–Planck方程式が、位置に依存する拡散係数Γ(r)をもって導出され、一貫性を保つためにフラクチュエーション・散逸定理Γ(r) = α(r)を満たす必要がある。
• 確率分布P(φ, r)は、r → ∞ において境界でユークリッドパス積分測度に近づき、確率的プロセスから量子場理論が出現することを確認する。
• ゼロ次元モデルにおいて相関関数⟨φ²⟩の解が得られ、r → ∞ において1/m²に収束し、標準的パス積分の結果と一致する。
• 拡散係数Γ(r)が√|g|に比例するように提案され、計量構造と整合し、AdSおよびミンコフスキー時空で正しい境界極限を再現する。
• 境界面積が時間とともに増加する時空では、確率的量力学化における平均プロセスが定義不能になるため、形式が破綻する。これはホログラフィックマッピングの限界を示唆する。
• 結果は、量子自由度が根本的ではなく、情報損失を伴うより深い古典的ダイナミクスから生じるとする't Hooftの見解を支持する。