[論文レビュー] On Gravity, Torsion and the Spectral Action Principle

Frank Pfaeffle, Christoph A. Stephan|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全的に反対称なねじれを有する4次元リーマン的スピン多様体に、直交接続を備えたスペクトル作用原理を考察する。重力的項のチャムセディン＝コーンズスペクトル作用が導出され、先行研究と比較して特定の項が消えることが示され、運動方程式にねじれ3形式に対するプローカ型方程式が含まれており、ねじれが質量のあるベクトルボソンとして振る舞うことを示唆する。臨界点にはねじれがゼロのエインシュタイン多様体が含まれ、ワーパード積幾何における非自明な臨界点は除外される。

ABSTRACT

We consider compact Riemannian spin manifolds without boundary equipped with orthogonal connections. We investigate the induced Dirac operators and the associated commutative spectral triples. In case of dimension four and totally anti-symmetric torsion we compute the Chamseddine-Connes spectral action, deduce the equations of motions and discuss critical points.

研究の動機と目的

• 直交接続を備えたリーマン的スピン多様体、特に全的に反対称なねじれを有するものに対して、チャムセディン＝コーンズのスペクトル作用原理を拡張すること。
• 4次元におけるスペクトル作用の重力的項を計算し、先行結果と整合することを確認すること。
• スペクトル作用から導かれる運動方程式を導出し、特に非ゼロのねじれ配置に関する臨界点を分析すること。
• コンネスの再構成定理を用いて、偶数次元においてねじれがスペクトルデータから再構成可能かどうかを調査すること。
• 非ゼロのねじれを有するワーパード積幾何において、非自明な臨界点が存在しないことを示し、ねじれがゼロの極限において一般相対性理論と整合することを保証すること。

提案手法

• 直交接続のカルタン分類を用い、ねじれをベクトル型、反対称型、カルタン型の成分に分解する。
• フリードリッヒとスランケの結果を適用し、対称的ディラック作用素を生成するのは反対称ねじれのみであることを示し、ベクトル型ねじれを除外する。
• 点の近傍で同期座標系を用い、全的に反対称なねじれのもとでの曲率不変量（リッチテンソルおよびリーマンテンソル）を計算する。
• ディラック作用素の関数のトレースとしてスペクトル作用を導出し、4次元における純粋な重力的項に焦点を当てる。
• 微分形式とホッジスター双対性を用いた明示的計算を行い、リッチおよびリーマンテンソルの対称的および反対称的成分を用いた曲率二乗型の表現を得る。
• コンネスの再構成定理を適用し、偶数次元において反対称ねじれがスペクトル三重体データから再構成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交接続と全的に反対称なねじれを有するリーマン多様体にスペクトル作用原理を適用した場合、その挙動はいかなるものか？
• RQ2 4次元におけるスペクトル作用から導かれる運動方程式は何か？また、それらにどのような物理的解釈が可能か？
• RQ3 作用の臨界点はどのようなものがあり、ゼロのねじれを有するエインシュタイン多様体を含むか？
• RQ4 非自明なねじれ配置が、特にワーパード積幾何において臨界点として存続可能か？
• RQ5 先行研究で報告された重力的スペクトル作用の項は、適切な計算のもとで実際に非ゼロであるのか、それとも消えるのか？

主な発見

• 4次元におけるチャムセディン＝コーンズのスペクトル作用の純粋な重力的項は、[HPS10]で報告されたある項が消えることを確認し、[ILV10]と整合する。
• 作用から導かれる運動方程式にはねじれ3形式に対するプローカ方程式が含まれており、ねじれが質量のあるゲージ場として振る舞うことを示唆する。
• ねじれがゼロのすべてのエインシュタイン多様体が作用の臨界点であることが保証され、ねじれなしの一般相対性理論と整合的である。
• 非ゼロのねじれを有するワーパード積幾何における臨界点は、補題5.10および5.13により除外される。これにより、このような構成は解として排除される。
• 反対称ねじれ成分は偶数次元においてスペクトル三重体データから再構成可能であり、物理的意義を有することが確認される。
• リーマン曲率の反対称成分のノルム、‖Riem^A‖²が作用に明示的に現れ、スペクトル作用に寄与するが、カルタン型ねじれはディラック作用素に影響を及ぼさない。