[論文レビュー] On Gromov's positive scalar curvature conjecture for virtual duality groups

Alexander Dranishnikov|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、基本群が粗い Baum-Connes予想を満たす仮想双対群である場合、閉じたほぼスピン $n$-多様体で正のスカラー曲率を持つものについて、Gromovの予想である、その普遍被覆のマクロスコピック次元が $n-2$ 以下であることを証明する。証明は粗いコホモロジー、Berstein-Schwarz類、および障害理論を用いて、$(n-2)$-スケルトンへの変形のための一次障害が消えることを示し、これまでの結果を超えて、この予想が成り立つ群のクラスを拡張する。

ABSTRACT

We prove the inequality $$ \dim_{mc}\Wi M\le n-2$$ for the macroscopic dimension of the universal covers $\Wi M$ of almost spin $n$-manifolds $M$ with positive scalar curvature whose fundamental group $π_1(M)$ is a virtual duality group that satisfies the coarse Baum-Connes conjecture.

研究の動機と目的

• 基本群のクラスを、ほとんど可解群、算術群、マッピングクラス群を含むより広いクラスへと拡張して、Gromovの正のスカラー曲率予想を拡張すること。
• 基本群が仮想双対群であり、粗い Baum-Connes 予想を満たすようなほぼスピン多様体について、不等式 $\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-2$ を確立すること。
• マクロスコピック次元の概念を、粗い不本質性を含む形に一般化し、それを有理数的不本質性および群コホモロジーに関連付けること。
• 弱い Gromov 予想を、Stone-Čech compactification と $\beta\widetilde{M}$ のコホモロジー類に関する有理化予想に還元すること。

提案手法

• 有限次元単体的複体への一様に有界な写像を用いて定義されるマクロスコピック次元 $\dim_{mc}$ を用いる。
• 粗いコホモロジーと粗い Baum-Connes 予想を用いて、$\widetilde{M}$ の大規模幾何を分析する。
• 変形を下位のスケルトンに制限する障害を構成するため、Berstein-Schwarz 類 $b \in H^1(\pi, I(\pi))$ 及びそのカップ積を用いる。
• Berstein-Schwarz 類の普遍性を用いて、問題を一次障害 $o_{\widetilde{f}}$ の消えることへ還元する。
• 基本群に $\pi_1$-不変な摂動写像 $Pert_*$ と係数準同型 $ec^*_M$ を用いて、基本類とコホモロジカル障害を関連付ける。
• sheaf コホモロジーの有理化予想を $\beta\widetilde{M}$ 上で用いることで、障害類が有限位数を持つこと、従って消えることへ結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想双対群が粗い Baum-Connes 予想を満たす場合、正のスカラー曲率を持つ多様体の普遍被覆のマクロスコピック次元は、$\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-2$ を満たすか？
• RQ2 弱い Gromov 予想（$\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-1$）は、$\widetilde{M}$ の Stone-Čech compactification における有理化条件に還元可能か？
• RQ3 基本類が有理ホモロジーで torsion であるとき、$(n-1)$-スケルトンへの変形のための一次障害は自明か？
• RQ4 Berstein-Schwarz 類は、そのカップ積と係数準同型を通じて、マクロスコピック次元をどの程度制御できるか？
• RQ5 障害類 $o_{\widetilde{f}}$ が消えることは、このような基本群を持つほぼスピン多様体について、$\dim_{mc}\widetilde{M} < n$ を意味するか？

主な発見

• すべての正のスカラー曲率を持つほぼスピン $n$-多様体で、基本群が仮想双対群であり、粗い Baum-Connes 予想を満たす場合、不等式 $\dim_{mc}\widetilde{M} \leq n-2$ が成り立つ。
• 証明により、$(n-2)$-スケルトンへの変形のための一次障害 $o_{\widetilde{f}}$ が消えることが示され、これにより $\dim_{mc}\widetilde{M} < n$ が得られる。
• 多様体 $M$ の有理数的不本質性は、$f_*([M])$ が torsion であることを意味し、これにより $f^*(b^n)$ が有限位数を持つことが導かれ、有理数的設定での障害が消える。
• 弱い Gromov 予想は、$\beta\widetilde{M}$ 上の $\bar{p}^*\mathcal{I}^n$ に係数をとるコホモロジーにおける有理化予想に還元され、その下で障害類 $\tilde{o}$ が消える。
• この結果により、Gromov の予想が成り立つ群のクラスは、自由群の積を越えて、ほとんど可解群、算術群、ねじれ群、ブレード群、$\mathrm{Out}(F_n)$ を含むように拡張される。
• 粗いホモロジーと摂動論を用いて、$\dim_{mc}\widetilde{M} < n$ と $\widetilde{f}_*([\widetilde{M}])$ が $H^{lf}_n(E\pi;\mathbb{Z})$ 内で消えることの同値性が確立される。