[論文レビュー] On Grothendieck--Serre's conjecture concerning principal G-bundles over reductive group schemes:I

Ivan Panin, Anastasia Stavrova+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、再帰的群スキーム上の主Gバンドルの自明性に関するグロテンディーク–セール予想の重要なケースを証明する。半局所的環の滑らかなアフィン多様体、無限体上の単純で単連結で等方的である再帰的群スキームについて、分数体上で自明なGバンドルは、すでに基本環上で自明であることを、変形技法とエタールコホロロジーの消滅を用いて示す。

ABSTRACT

Let k be an infinite field. Let R be the semi-local ring of a finite family of closed points on a k-smooth affine irreducible variety, let K be the fraction field of R, and let G be a reductive simple simply connected R-group scheme isotropic over R. We prove that for any Noetherian k-algebra A, the map of etale cohomology sets H^1(A\otimes_k R,G)-> H^1(A\otimes_ k K,G), induced by the inclusion of R into K, has trivial kernel. This implies the Serre-Grothendieck conjecture for such groups G. The main theorem for A=k and some other results of the present paper are used significantly in arXiv:1211.2678 to prove the Serre-Grothendieck conjecture for all reductive groups over a regular semi-local ring containing an infinite field.

研究の動機と目的

• 再帰的群スキーム上の主Gバンドルのエタールコホロロジーにおける制限写像の核の自明性を確立すること。
• 滑らかな多様体の半局所環上における等方的で単連結で単純な群スキームについて、グロテンディーク–セール予想の重要な特殊ケースを証明すること。
• 正則半局所環上での完全な予想の後続証明に用いられる基礎的結果を提供すること。
• アニュスティックな場合に反例が知られていることから、その範囲を超えて予想の有効性を拡張すること。
• 分数体から基本環への自明化を上げる変形理論的手法を開発すること。

提案手法

• 変形技法の使用：元のバンドルを変形する多項式環拡張上の主Gバンドルを構成し、局域化において自明化する。
• ファドデエフ–シャポロ補題を適用して、単連結から半単純単連結群スキームへの結果の拡張を行う。
• 再帰的群がGL_Nに埋め込まれることに伴うエタールコホロロジーの長完全系列を用い、バンドルの自明性とコホロロジーの消滅を関連付ける。
• 射影空間からアフィンスキームへの写像は定数であるという事実を用い、自明化が射影直線から基本に下方に降下することを示す。
• O(1)に係数をとった射影直線におけるH^1の消滅を活用し、閉部分スキーム上で自明なベクトルバンドルはP^1全体で自明であることを示す。
• ニスネヴィッチおよびハブーシュ–ナガタの定理を用い、再帰的群の商がアフィンであることを保証し、降下議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的で単連結で単純な群スキームGが半局所環上にあるとき、H^1_et(R⊗_k A, G) → H^1_et(K⊗_k A, G) の核は自明か？
• RQ2 分数体上で自明なGバンドルは、多項式環上の変形を用いて、基本環上で自明なバンドルに持ち上げられるか？
• RQ3 群スキームGと基本環Rにどのような条件を課すと、エタールコホロロジーの自明性がグローバルな自明性を意味するようになるか？
• RQ4 Gのアニュスティック性がグロテンディーク–セール予想の有効性をどの程度妨げるか？
• RQ5 半局所基底上の射影直線上で自明なGバンドルは、コホロロジー的降下を用いて、基底に下方に降下できるか？

主な発見

• 定理1.1は、任意のノエター的k代数Aに対し、GがO上等方的で単連結かつ単純であるとき、H^1_et(O⊗_k A, G) → H^1_et(K⊗_k A, G) の写像の核が自明であることを確立する。
• 定理1.2は、O⊗_k A上のGバンドルをO[t]⊗_k A上のバンドルに変形する構成を行い、局域化において自明化され、t=0で元のバンドルを回復する。
• 定理1.3は、B[t]上のGバンドルがモニック多項式h(t)で定義される局域化において自明であれば、B[t]上で自明であることを証明する。
• 定理1.6は、無限体を含む正則半局所整域への結果を拡張し、等方的で単連結なGについても同様の核の自明性を示す。
• 定理9.6の証明では、H^1(P^1, O)の消滅とコホロロジー的降下を用い、P^1の閉部分スキーム上で自明なベクトルバンドルはP^1全体で自明であることを示す。
• 補題12.1による降下議論により、半局所基底上のP^1上で自明なGバンドルは、基底上で自明であることが示され、G-商のアフィン性に依拠する。