[論文レビュー] On groupoids with involutions and their cohomology

El-kaïoum M. Moutuou|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己同型を備えた局所コンパクトなグループイドに対して Real Čech 上同調 (\check{H}R^\ast) を導入し、次数付き拡大と上同調的分類を Real 構造へと拡張する。Real グループイド C^\ast-自己作用系の上同調的枠組みを確立し、Crainic の微分上同調の結果を位相的正則な Real グループイドへ一般化し、Real 表現における高次上同調の消滅を証明する。

ABSTRACT

We extend the definitions and main properties of graded extensions to the category of locally compact groupoids endowed with involutions. We introduce Real Čech cohomology, which is an equivariant-like cohomology theory suitable for the context of groupoids with involutions. The Picard group of such a groupoid is discussed and is given a cohomological picture. Eventually, we generalize Crainic's result, about the differential cohomology of a proper Lie groupoid with coefficients in a given representation, to the topological case.

研究の動機と目的

• 次数付き拡大と上同調の理論を自己同型を備えたグループイドへ拡張すること。
• Real グループイドの同変的類似上同調理論として Real Čech 上同調 (\check{H}R^\ast) を定義すること。
• 自己同型を備えた C^\ast-自己作用系における Dixmier-Douady 不変量の上同調的解釈を提供すること。
• Crainic が正則なリー グループイドの微分上同調について示した結果を、正則な Real グループイドの位相的ケースへ一般化すること。

提案手法

• 自己同型 \rho が存在し、\rho^2 = \text{id} を満たす厳密な 2-周期的ホメオモルフィズムを備えたグループイドを Real グループイドとして定義する。
• Real アーベル群 \mathrm{S} を用いた Real グループイド \mathcal{G} の Real な次数付き拡大を導入し、群 \widehat{\operatorname{Ext}R}(\mathcal{G}, \mathrm{S}) を構成する。
• Simplicial space の Čech 上同調に Real 構造の整合性を課すことにより、Real Čech 上同調 \check{H}R^\ast を構成する。
• 正則なグループイドに対して、Real Čech 複体上の収縮写像 h^\star を確立し、正則性の証明に用いる。
• Real 構造を用いて、\nu(e_1, e_2) = (e_1, -e_2) を満たす Real 表現 F = E \oplus E を定義し、\check{H}R^n と標準的上同調との関係を確立する。
• 正則性のもとで \check{H}R^n(\mathcal{G}_\bullet, F^\bullet) = 0 (n \geq 1) を証明し、標準的上同調の消滅に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数付き拡大と上同調を自己同型を備えたグループイドへどのように一般化できるか。
• RQ2 自己同型を備えた Real グループイド C^\ast-自己作用系を分類する適切な上同調理論とは何か。
• RQ3 Crainic の正則なリー グループイドの微分上同調に関する結果は、位相的正則な Real グループイドへ拡張可能か。
• RQ4 Real Čech 上同調 \check{H}R^\ast は \mathbb{Z}_2-同変理論と同様に振る舞うか。そうでない場合、どのように異なるか。
• RQ5 適切な Real 表現を用いることで、正則なグループイドにおける高次上同調の消滅を Real 構造へ拡張できるか。

主な発見

• Real Čech 上同調 \check{H}R^\ast は、自己同型を備えた C^\ast-自己作用系における \overline{\delta(A)} = \tau^*\delta(A) を満たす 2-コサイクルの上同調的分類を提供する。
• 群 \widehat{\operatorname{Ext}R}(\mathcal{G}, \mathrm{S}) は、Real グループイド \mathcal{G} 上での Real な次数付き \mathrm{S}-中心拡大の同値類を分類する。
• Real Čech 複体上に収縮写像 h^\star が構成され、n \geq 1 に対して h^n \circ d^n + d^{n-1} \circ h^{n-1} = \text{id} が成り立つことが示され、正則性が確立される。
• 正則なグループイド \mathcal{G} に対して、E が Real \mathcal{G}-同変ベクトルバンドルであるとき、\check{H}^n(\mathcal{G}_\bullet, E^\bullet) はすべての n \geq 1 で消える。
• 正則性のもとで \check{H}R^n(\mathcal{G}_\bullet, F^\bullet) = 0 (n \geq 1) が成り立つことから、\nu(e_1, e_2) = (e_1, -e_2) を満たす Real 表現 F = E \oplus E を用いることで \check{H}^n(\mathcal{G}_\bullet, E^\bullet) = 0 が導かれる。
• Real Čech 上同調は、同変的挙動を示すが、真の \mathbb{Z}_2-同変上同調理論ではない。