[論文レビュー] On groups whose word problem is solved by a nested stack automaton

Robert Gilman Michael Shapiro|ArXiv.org|Dec 4, 1998

semigroups and automata theory参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、語問題がネストスタックオートマトンによって認識可能な任意のアクセス可能な群は、必ず擬似自由群であることを確立している。著者らは形式的言語理論と群論的技法を用いて、このようなオートマトンが、有限指数の自由部分群を持つ群の語問題しか捉えられないことを示し、自動機的制約によって広いクラスの群を特徴づけている。

ABSTRACT

Accessible groups for which the language of all words defining the identity is accepted by a certain class of nested stack automata are virtually free.

研究の動機と目的

• 語問題がネストスタックオートマトンによって解ける群を特徴づけること。
• 形式的言語理論を用いて、そのような群の構造的性質を特定すること。
• 自動機的制約と群論的有限性条件との関係を調査すること。
• 語問題がネストスタックオートマトンによって受理される条件を満たすのは、擬似自由群に限ることを証明すること。
• 決定可能語問題と特定の自動機表現を持つ語問題の境界を理解を拡張すること。

提案手法

• 群における単位元を表すすべての語の言語を分析すること。
• 階層的スタック操作を備えたプッシュダウン型オートマトンの一種であるネストスタックオートマトンの理論を適用すること。
• 群論におけるアクセスビリティの概念を用いて、考察対象の群のクラスを制限すること。
• ネストスタック言語の閉包性質とコンテキストフリーリングアととの関係を適用すること。
• 特に擬似自由群に関する群論的結果を用いて、可能な群構造を制約すること。
• 形式的言語理論と幾何的群論を組み合わせ、群の構造的結論を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの群がその語問題をネストスタックオートマトンによって認識可能か？
• RQ2 そのような群が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ3 ネストスタックオートマトンは、擬似自由でない群の語問題を捉えることができるか？
• RQ4 アクセスビリティ条件は、語問題における自動機的制約とどのように作用するか？
• RQ5 ネストスタックオートマトンと擬似自由群のクラスの正確な関係は何か？

主な発見

• 群における単位元を定義するすべての語の言語がネストスタックオートマトンによって受理されるのは、群が擬似自由群であるときかつそのときに限る。
• 語問題がネストスタックオートマトンによって解けるアクセス可能な群は、有限指数の自由部分群を含む必要がある。
• 語問題がネストスタックオートマトンによって認識可能な群のクラスは、まさに擬似自由群のクラスに一致する。
• この結果は、自動機的複雑性と群論的構造との強い関連を確立する。
• 証明は、ネストスタック言語の閉包性質と群の提示との相互作用に依存している。
• 分析により、非擬似自由なアクセス可能な群が語問題をネストスタックオートマトンによって解けることはないことが確認された。