[論文レビュー] On $H^{2|2}$ Isomorphism theorems and reinforced loop soup

Yinshan Chang, Dang-Zheng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Mathematics and Applications参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、新規のベイズ公式を通じて、超対称的ハイパボリック $H^{2|2}$ 系の場と古典的ガウス自由場を結びつける。これにより、VRJP（頂点強化ジャンプ過程）における $H^{2|2}$ 同型定理が、古典的 BFS–ダイナキン同型定理のアンネールド版であることが示された。さらに、強化されたループサブスに新たな BFS–ダイナキン同型定理を証明し、フェルミオン・カスのスタイルの導出により VRJP 同型定理を再構築することで、超ブラウン運動とループ測度を通じて、超対称的および古典的確率過程を統一した。

ABSTRACT

We show that supersymmetric (susy) hyperbolic isomorphism theorems that relate Vertex Reinforced Jump Processes and $H^{2|2}$ field, introduced in [2] and [3], are annealed version of isomorphism theorems relating Markov processes and Gaussian free field, with the help of a Bayes formula that relates susy hyperbolic field to susy free field. On the other hand, we also prove a BFS-Dynkin's isomorphism theorem for reinforced loop soup. Moreover, we provide yet another proof of BFS-Dynkin's isomorphism for VRJP a la Feynman-Kac.

研究の動機と目的

• 超対称的 $H^{2|2}$ 同型定理とガウス自由場を含む古典的同型定理との関係を明確化すること。
• 超対称的 $H^{2|2}$ ハイパボリック場と古典的ガウス自由場を結ぶベイズ公式を確立すること。
• 局所時間に強化関数 $k_i$ を重み付けする強化されたループサブスに対して、新たな BFS–ダイナキン同型定理を証明し、古典的ループサブスの枠組みを超対称的設定に拡張すること。
• 元の超対称的場理論の構成とは独立して、フェルミオン・カス型の導出により $H^{2|2}$ 同型定理を再導出することにより、VRJP とガウス過程との関係を強化すること。

提案手法

• 超対称的 $H^{2|2}$ ハイパボリック場を、ガウス自由場と同等の形に変換するベイズ公式を導出することで、古典的同型定理と比較可能にする。
• 局所時間測度を変更し、強化パラメータ $k_i$ を組み込むことで、ループサブス構成における強化されたループサブスの概念を導入する。
• 超対称的 $H^{2|2}$ モデルにおける水平超曲面座標系を用いて、ボソン的およびフェルミオン的成分を分離し、ウィックの公式を適用して相関を計算する。
• 墓地点と時間変換された過程を伴う VRJP にフェルミオン・カス公式を適用し、グリーン関数と抜ける確率の観点から同型定理を導出する。
• 局所時間過程のラプラス変換と、明示的なギブス測度 $\nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}(du)$ の形を用いて、VRJP の抜ける確率と $H^{2|2}$ 場の相関を関連付ける。
• 導出の根拠として、伝導度 $W_{ij}e^{u_i + u_j}$ を持つマコフ跳躍過程の生成作用素 $B^u$ を用い、抜ける確率 $\mathbb{P}_{a,1}^{W,k,h}(Y_{T_\delta^-}=b, T_\delta < T_\iota)$ を逆グリーン関数の積分として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VRJP における $H^{2|2}$ 同型定理は、ガウス自由場を含む古典的 BFS–ダイナキン同型定理のアンネールド版であるか？
• RQ2 超対称的 $H^{2|2}$ ハイパボリック場と古典的ガウス自由場を結ぶベイズ公式を導出できるか？
• RQ3 局所時間に強化関数 $k_i$ を重み付けする強化されたループサブスに対して、BFS–ダイナキン同型定理が成立するか？
• RQ4 元の超対称的場理論の構成とは独立して、フェルミオン・カスの手法により $H^{2|2}$ 同型定理を再導出できるか？
• RQ5 二つの墓地点（$\delta$ と $\iota$）の導入が、抜ける確率および $H^{2|2}$ 場との関係にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 超対称的 $H^{2|2}$ ハイパボリック場と古典的ガウス自由場を結ぶベイズ公式が確立され、$H^{2|2}$ 同型定理が古典的同型定理のアンネールド版であることが示された。
• 局所時間測度に強化関数 $k_i$ を組み込んだ強化されたループサブスに対して、新たな BFS–ダイナキン同型定理が証明され、古典的ループサブスの枠組みが超対称的設定に一般化された。
• 抜ける確率 $\mathbb{P}_{a,1}^{W,k,h}(Y_{T_\delta^-}=b, T_\delta < T_\iota)$ が $h \left<x_a x_b e^{-\left<k,z-1\right>}\right>_{\widetilde{W},\Phi_\delta=0}$ に等しいことが示され、VRJP と $H^{2|2}$ 場が結びつけられた。
• フェルミオン・カス風の導出により、相関 $\left<x_a x_b e^{-\left<k,z-1\right>}\right>_{\widetilde{W},\Phi_\delta=0}$ が VRJP の到達時間分布のラプラス変換に一致することが確認された。
• 測度 $\nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}$ の下での局所時間過程 $\beta_i = \sum_{k} W_{ik} e^{u_k - u_i}$ の周辺分布が、$\nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}$ の下と一致することが示され、証明における変数変換の正当性が裏付けられた。
• 相関 $\left<y_a y_b\right>_{\widetilde{W}^{k+h},\Phi_\delta=0}$ が $\int (B^u|_{V\times V})^{-1}(a,b) e^{u_a + u_b} \nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}(du)$ に等しいことが示され、ウィックの公式を用いた同型定理の確認がなされた。