[論文レビュー] On $H_3(1)$ Hankel determinant for some classes of univalent functions

K. O. Babalola|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Analytic and geometric function theory参考文献 8被引用数 125

ひとこと要約

本稿は、単位円板内における有界回転（$ R $）、星型（$ S^* $）、凸（$ C $）関数の3つの古典的クラスについて、第3ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭鋭上界を決定する。リビュラ–ズロツキエヴィッチの方法と正の実部をもつ関数のクラス $ P $ を用いた係数推定により、フェケーティ・シュペーゴ機能と既知の係数不等式を分析することで、$ H_3(1) $ に関する長年の不等式系列を完成させる。主な結果として、$ R $ に対して $ |H_3(1)| \leq \frac{993}{1620} $、$ S^* $ に対して $ \leq 16 $、$ C $ に対して $ \leq \frac{15}{24} $ の鋭鋭上界が得られ、それぞれ明示的な極値関数によって等号が成立する。

ABSTRACT

Focus in this paper is on the Hankel determinant, $H_3(1)$, for the well-known classes of bounded-turning, starlike and convex functions in the open unit disk $E=\{z\in \mathbb{C}\colon|z|<1\}$. The results obtained complete the series of research works in the search for sharp upper bounds on $H_3(1)$ for each of these classes.

研究の動機と目的

• 有界回転、星型、凸無単関数のクラスにおける第3ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭鋭上界を決定すること。
• これらの古典的関数クラスについて $ H_3(1) $ の鋭鋭上界を求める未解決問題を解消することで、$ H_3(1) $ に関する研究の系列を完成させること。
• 正の実部をもつ関数のクラス $ P $ を用いたリビュラとズロツキエヴィッチの古典的手法を適用し、係数不等式を導出すること。
• 有界回転クラスにおいて、これまで未知であったフェケーティ・シュペーゴ機能 $ |a_2a_3 - a_4| $ の鋭鋭上界を確立すること。
• 既知の係数境界と新しい機能的推定値を組み合わせることで、各クラスにおける $ |H_3(1)| $ のタイトな上界を導出すること。

提案手法

• リビュラ–ズロツキエヴィッチの方法を用い、関数 $ p(z) = 1 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots $ で $ \operatorname{Re} p(z) > 0 $ を満たすクラス $ P $ の係数 $ c_1, c_2, c_3 $ を用いて、係数 $ a_2, a_3, a_4, a_5 $ を表現する。
• 基本的な不等式 $ |c_k| \leq 2 $（$ p \in P $）を適用し、パラメトリック表現：$ 2c_2 = c_1^2 + x(4 - c_1^2) $ および $ 4c_3 = c_1^3 + 2xc_1(4 - c_1^2) - x^2c_1(4 - c_1^2) + 2z(1 - |x|^2)(4 - c_1^2) $ を用いる。ここで $ |x| \leq 1 $、$ |z| \leq 1 $ である。
• 各関数クラス（$ R $、$ S^* $、$ C $）について、$ |a_2a_3 - a_4| $ を $ c_1 $、$ x $、$ z $ の関数として表現し、三角不等式を適用して $ x $ と $ z $ について最適化することで最大値を求める。
• 既知の鋭鋭境界：$ R $ に対して $ |a_k| \leq 2/k $、$ S^* $ に対して $ |a_k| \leq k $、$ C $ に対して $ |a_k| \leq 1 $、および $ |a_2a_4 - a_3^2| \leq 4/9 $、$ 1 $、$ 1/8 $ をそれぞれ適用する。
• 導出された $ |a_2a_3 - a_4| $ の境界と、既知の $ |a_2a_4 - a_3^2| $、$ |a_3 - a_2^2| $、$ |a_k| $ の境界を組み合わせ、$ |H_3(1)| $ に対して三角不等式を適用し、最終的な鋭鋭上界を導出する。
• 極値関数の構成により鋭鋭性を検証する：$ R $ に対して $ f(z) = \int_0^z \frac{1+t^3}{1-t^3} dt $、$ S^* $ に対してコーエーブ関数 $ k(z) = z/(1-z)^2 $、$ C $ に対して特定の積分表現を用い、等号が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界回転関数クラス（$ R $）における第3ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭鋭上界は何か？
• RQ2 星型関数クラス（$ S^* $）における $ H_3(1) $ の鋭鋭上界は何か？
• RQ3 凸関数クラス（$ C $）における $ H_3(1) $ の鋭鋭上界は何か？
• RQ4 有界回転クラス $ R $ におけるフェケーティ・シュペーゴ機能 $ |a_2a_3 - a_4| $ の鋭鋭上界は何か（これまで未知であった）？
• RQ5 各クラスにおいて $ H_3(1) $ の境界に等号が成立する明示的な関数は何か？

主な発見

• 有界回転関数クラス $ R $ において、$ |a_2a_3 - a_4| $ の鋭鋭上界は $ \frac{1}{2} $ であり、$ f(z) = \int_0^z \frac{1+t^3}{1-t^3} dt $ によって達成される。
• $ R $ に対して、$ |H_3(1)| $ の鋭鋭上界は $ \frac{993}{1620} \approx 0.613 $ であり、新しい $ |a_2a_3 - a_4| $ の境界と既知の係数不等式を組み合わせて導出された。
• 星型関数クラス $ S^* $ において、$ |a_2a_3 - a_4| $ の鋭鋭上界は $ 2 $ であり、コーエーブ関数 $ k(z) = z/(1-z)^2 $ によって達成される。
• $ S^* $ に対して、$ |H_3(1)| $ の鋭鋭上界は $ 16 $ であり、コーエーブ関数の回転によって達成される。
• 凸関数クラス $ C $ において、$ |a_2a_3 - a_4| $ の鋭鋭上界は $ \frac{1}{6} $ であり、$ f(z) = \int_0^z \left\{ s \cdot \exp\left( \int_0^s \frac{2t^3}{1-t^3} dt \right) \right\} ds $ によって達成される。
• $ C $ に対して、$ |H_3(1)| $ の鋭鋭上界は $ \frac{15}{24} = 0.625 $ であり、新しい機能的境界と既知の係数推定値を組み合わせて確認された。