[論文レビュー] On Hölder continuity of the solution of stochastic wave equations

Yaozhong Hu, Jingyu Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フーリエ変換に依存せずに、共分散関数の連続性のモジュラスに新しい条件を課すことにより、空間不均一なガウスノイズによって駆動される3次元確率的波動方程式の解のホルダー連続性を確立する。分数カリエン・ブラウン運動ノイズのための最適なホルダー指数を特定し、空間連続性を直接的・非フーリエ的手法で示し、分散の下界を用いて鋭い境界を確認する。

ABSTRACT

In this paper, we study the stochastic wave equations in the spatial dimension 3 driven by a Gaussian noise which is white in time and correlated in space. Our main concern is the sample path Hölder continuity of the solution both in time variable and in space variables. The conditions are given either in terms of the mean Hölder continuity of the covariance function or in terms of its spectral measure. Some examples of the covariance functions are proved to satisfy our conditions, which include the case of the work \cite{dalang4}. In particular, we obtain the Hölder continuity results for the solution of the stochastic wave equations driven by (space inhomogeneous) fractional Brownian noises. For this particular noise, the optimality of the obtained Hölder exponents is also discussed.

研究の動機と目的

• 空間不均一なガウスノイズによって駆動される3次元確率的波動方程式の解の標本路のホルダー連続性を確立すること。
• フーリエ変換技術に依存せずに、共分散関数の移動作用素の連続性のモジュラスに直接的に作用する新しいホルダー連続性の証明法を開発すること。
• 空間に分数カリエン・ブラウン運動ノイズが作用する場合の解の最適ホルダー指数を特定すること。
• 新手法と従来のフーリエに基づく手法を比較し、空間正則性の取り扱いにおける優位性を示すこと。
• 線形かつ加法的ノイズの場合の分散の下界を用いて、得られたホルダー指数の鋭さを検証すること。

提案手法

• 共分散関数 $ f $ における移動作用素の連続性のモジュラスに基づく新手法を導入し、$ \|D_w f - f\|_{L^1(\rho)} \leq C|w|^\gamma $ および $ \|D_w f + D_{-w} f - 2f\|_{L^1(\rho)} \leq C|w|^{\gamma'} $ を要求する。ここで $ \rho(dz) = \mathbf{1}_{\{|z|\leq 2T\}} \frac{1}{|z|} dz $ である。
• 時間のホルダー連続性を証明するため、時間の増分を空間の増分に変換し、$ [0,T] \times (S^2)^2 $ 上で一様測度を用いた移動作用素に関する積分条件を課す。
• フーリエ変換法を補足的手法として用い、$ \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\mu(d\zeta)}{1+|\zeta|^{2-2\gamma}} < \infty $ かつ $ \mathcal{F}(|\zeta|^{2\gamma}\mu)(\zeta) \geq 0 $ であれば、ホルダー連続性の指数 $ \kappa < \gamma $ が成立することを示す。
• Riesz核およびBessel核を含む特定の共分散関数に両手法を適用し、$ f(x) = \prod_{i=1}^3 |x_i|^{2H_i - 2} $、$ H_i \in (1/2,1) $ である分数ノイズに対しても適用する。
• 線形かつ加法的ノイズの場合に、分散の下界を用いて最適ホルダー指数 $ \bar{\kappa} = \sum_{i=1}^3 H_i - 2 $ を確立する。
• コルモゴロフの補題とモーメント推定を用いて、線形の場合の指数 $ \bar{\kappa} $ の鋭さを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共分散関数 $ f $ にどのような条件を課すと、3次元確率的波動方程式の解が時間および空間変数においてホルダー連続性を示すか？
• RQ2 フーリエ変換技術に依存せずに、解のホルダー連続性を確立できるか？
• RQ3 3次元空間において、Hurstパラメータ $ H_i \in (1/2,1) $ を持つ分数カリエン・ブラウン運動ノイズによって駆動される場合の解の最適ホルダー指数は何か？
• RQ4 新規の連続性のモジュラスに基づく手法は、古典的なフーリエに基づく手法と比較して、適用可能性および鋭さの観点でどのように異なるか？
• RQ5 得られたホルダー指数 $ \bar{\kappa} = \sum H_i - 2 $ は、分数ノイズに対して最適であるか？その確認方法は何か？

主な発見

• 解は、$ L^1(\rho) $-ノルムにおける共分散関数 $ f $ の移動作用素のホルダー指数 $ \gamma $ および $ \gamma' $ を用いて、空間において局所的にホルダー連続であり、指数は $ \kappa < \min(\gamma, \gamma'/2) $ である。
• 時間のホルダー連続性に関しては、$ [0,T] \times (S^2)^2 $ 上での移動作用素の積分的連続性のモジュラスに関する条件を導出し、時間の正則性を空間的増分へと移す条件を確立する。
• フーリエ変換法では、$ \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\mu(d\zeta)}{1+|\zeta|^{2-2\gamma}} < \infty $ かつ $ \mathcal{F}(|\zeta|^{2\gamma}\mu)(\zeta) \geq 0 $ であれば、ホルダー連続性の指数 $ \kappa < \gamma $ が成立し、Riesz核に対しても直接的証明が可能である。
• 分数カリエン・ブラウン運動ノイズ $ f(x) = \prod_{i=1}^3 |x_i|^{2H_i - 2} $ の場合、解は空間および時間においてホルダー連続であり、指数は $ \kappa_i < \min(H_i - 1/2, \bar{\kappa}) $ である。ここで $ \bar{\kappa} = \sum H_i - 2 $ であり、初期条件がゼロの下で成立する。
• 線形かつ加法的ノイズの場合（$ \sigma=1, b=0, v_0=\bar{v}_0=0 $）、最適ホルダー指数は $ \bar{\kappa} $ であり、増分における分散の下界によって確認される。
• 指数 $ \bar{\kappa} $ は鋭い：任意の $ \kappa < \bar{\kappa} $ に対して、解はほとんど確実に $ \kappa $-ホルダー連続であるが、$ \bar{\kappa} $ を超える指数への改善は不可能である。