[論文レビュー] On (h-m)-Convexity and Hadamard-Type Inequalities

M. Emіn Özdemіr, Ahmet Ocak Akdemi̇r+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用数 49

ひとこと要約

本稿では、m-凸関数およびh-凸関数の一般化として(h-m)-凸関数を導入し、古典的凸性の概念を統合的かつ拡張的に扱う。重み付き積分境界を用いて、このクラスに対する新しいハダマール型積分不等式を確立し、s-凸関数、m-凸関数、P関数に関する既知の結果を統一的な枠組みで一般化する。

ABSTRACT

In this paper, a new class of convex functions as a generalization of convexity which is called (h-m)-convex functions and some properties of this class is given. We also prove some Hadamard's type inequalities.

研究の動機と目的

• m-凸関数およびh-凸関数の一般化として、新たな凸関数のクラス(h-m)-凸関数を定義すること。
• ハダマール型積分不等式の理論を、このより広い関数クラスへと拡張すること。
• m-凸関数、s-凸関数、P関数、およびGodunova-Levin関数に関する既存の不等式を、単一の枠組みで統一的かつ一般化すること。
• 関数パラメータhとmを用いた重み付き積分を用いて、(h-m)-凸関数の積分平均に対する鋭い境界を提供すること。
• 既知の不等式（例：s-凸関数やm-凸関数に対するもの）を、提案された枠組みの特別な場合として回復・一般化すること。

提案手法

• 非負関数hに対して、$ f(tx + m(1-t)y) \leq h(t)f(x) + mh(1-t)f(y) $ を満たす(h-m)-凸関数を定義する。ここで $ t \in [0,1] $、$ m \in (0,1] $ である。
• t ∈ [0,1] における(h-m)-凸性の条件を積分し、[a,b] および [ma,b] における積分を関連付けるために変数変換を適用する。
• 変数変換および積分の対称性を用いて、$ \int_0^1 f(ta + m(1-t)b) dt $ を $ \frac{1}{mb - a} \int_a^{mb} f(x) dx $ として表現する。
• 対称的な(h-m)-凸性条件の組み合わせから得られる複数の不等式を組み合わせ、[a,b] 上でのfの平均値を評価する。
• 関数hおよびパラメータmの性質を用いて、既知の不等式（例：h(t)=t、h(t)=t^s、h(t)=1）を特別な場合として回復する。
• 積分 $ \int_0^1 h(t) dt $ および $ \int_0^1 h(1-t) dt $ を含む不等式を確立し、古典的ハダマール不等式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m-凸性とh-凸性の概念を、単一の一般化された関数クラスへ統合する方法は何か？
• RQ2 この一般化された(h-m)-凸関数クラスに対して、どのような新しい積分不等式が導けるか？
• RQ3 新しい不等式は、s-凸関数、m-凸関数、P関数、Godunova-Levin関数に関する既存の結果とどのように関係し、一般化するか？
• RQ4 パラメータhとmに関して、導出された境界の鋭さおよび最適性の性質は何か？
• RQ5 古典的ハダマール不等式は、新しい(h-m)-凸関数枠組みの特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 本稿では、不等式 $ f(tx + m(1-t)y) \leq h(t)f(x) + mh(1-t)f(y) $ を用いて(h-m)-凸関数を定義し、m-凸関数およびh-凸関数を一般化する。
• 新しいハダマール型不等式を確立した：$ \frac{1}{b-a} \int_a^b \left[ f(x) + m f\left(\frac{x}{m}\right) \right] dx \leq \frac{1}{2} \left[ f(a) + m f\left(\frac{b}{m}\right) + m f\left(\frac{a}{m}\right) + m^2 f\left(\frac{b}{m^2}\right) \right] $、等号成立条件はhおよびmに依存する。
• h(t) = t のとき、この不等式は凸関数に対する古典的ハダマール不等式に簡略化される。
• m=1 かつ h(t) = t^s のとき、この不等式はs-凸関数に対する既知のハダマール型境界 $ 2^{s-1} f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{s+1} $ を回復する。
• h(t) = 1 のとき、この不等式はP関数に対する既知の境界 $ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq 2[f(a) + f(b)] $ に簡略化される。
• 不等式 $ \frac{1}{m+1} \left[ \frac{1}{mb-a} \int_a^{mb} f(x) dx + \frac{1}{b-ma} \int_{ma}^b f(x) dx \right] \leq \left[ f(a) + f(b) \right] \left[ \int_0^1 h(t) dt + \int_0^1 h(1-t) dt \right] $ は、m-凸関数のための定理3を一般化する。