[論文レビュー] On $(H,\widetilde{H})$-harmonic Maps between pseudo-Hermitian manifolds

Yuxin Dong|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、擬ヘルミート多様体間の水平エネルギー汎関数の臨界点として$(H,\widetilde{H})$-調和写像を導入し、CRボッホナー公式とパネイツ型作用素を用いてボッホナー型定理を確立する。主な結果には、亜楕円型熱方程式を用いた存在定理、一意的継続性の性質、および負の水平曲率をもつ多様体への写像における強い剛性結果が含まれる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate critical maps of the horizontal energy functional $E_{H,\widetilde{H}}(f)$ for maps between two pseudo-Hermitian manifolds $(M^{2m+1},H(M),J,θ)$ and $(N^{2n+1},\widetilde{H}(N), \widetilde{J},\widetildeθ)$. These critical maps are referred to as $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. We derive a CR Bochner formula for the horizontal energy density $|df_{H, \widetilde{H}}|^{2}$, and introduce a Paneitz type operator acting on maps to refine the Bochner formula. As a result, we are able to establish some Bochner type theorems for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. We also introduce $(H,\widetilde{H})$-pluriharmonic, $(H,\widetilde{H})$-holomorphic maps between these manifolds, which provide us examples of $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. Moreover, a Lichnerowicz type result is established to show that foliated $(H,\widetilde{ H})$-holomorphic maps are actually minimizers of $E_{H,\widetilde{H}}(f)$ in their foliated homotopy classes. We also prove some unique continuation results for characterizing either horizontally constant maps or foliated $(H,\widetilde{H})$-holomorphic maps. Furthermore, Eells-Sampson type existence results for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps are established if both manifolds are compact Sasakian and the target is regular with non-positive horizontal sectional curvature. Finally, we give a foliated rigidity result for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps and Siu type strong rigidity results for compact regular Sasakian manifolds with either strongly negative horizontal curvature or adequately negative horizontal curvature.

研究の動機と目的

• 擬ヘルミート多様体上での水平エネルギー汎関数の臨界点として$(H,\widetilde{H})$-調和写像を定義し、その性質を研究すること。
• 水平エネルギー密度のためのCRボッホナー公式を導出し、パネイツ型作用素を用いてそれを精緻化すること。
• $(H,\widetilde{H})$-擬正則写像および$(H,\widetilde{H})$-正則写像を、$(H,\widetilde{H})$-調和写像の特別な場合として導入すること。
• 特にコンパクトなサスカリアン多様体に対して、曲率および位相的条件のもとで$(H,\widetilde{H})$-調和写像の存在結果を証明すること。
• 負の水平曲率の仮定の下で、リヒネロヴィッチ型およびシウ型の強い剛性定理を$(H,\widetilde{H})$-調和写像に対して確立すること。

提案手法

• タンカ-・ウェブスター接続と曲率項を用いて、水平エネルギー密度$|df_{H,\widetilde{H}}|^2$のためのCRボッホナー公式を導出する。
• 写像に作用するパネイツ型作用素を導入し、ボッホナー公式の精緻化とその固有値性質の解析を行う。
• 横断的複素構造の整合性を用いて、$(H,\widetilde{H})$-正則および$(H,\widetilde{H})$-擬正則写像を定義する。
• 初期写像$h$をもつ亜楕円型熱方程式$\frac{\partial f_t}{\partial t} = \tau_H(f_t)$を構成し、局所座標における偏微分方程式系の解法に問題を還元する。
• 写像$\rho(y) = y - \Pi(y)$を用いて解を像多様体に射影し、$\int_M |\rho(u)|^2 dv_\theta$が時間に関して非増加であることを証明する。
• 合成法則と曲率恒等式を適用して$\rho(u)$の時間発展方程式を導出し、$h(M) \subset N$ならばすべての$t$に対して$u(x,t) \in N$であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなサスカリアン多様体間で、$(H,\widetilde{H})$-調和写像が存在する条件は何か？
• RQ2 $(H,\widetilde{H})$-正則写像が水平エネルギー汎関数の最小化者であるのはいつか？
• RQ3 $(H,\widetilde{H})$-調和写像に成立する一意的継続性の性質は何か？ そしてそれは水平定数写像または葉付き$(H,\widetilde{H})$-正則写像を特徴づけるか？
• RQ4 非正または強く負の水平曲率をもつ多様体への写像に対して、$(H,\widetilde{H})$-調和写像に対してどのような剛性定理を確立できるか？
• RQ5 亜楕円型熱方程式の手法が、$(H,\widetilde{H})$-調和写像への収束をどのように保証するか？

主な発見

• 水平エネルギー密度のためのCRボッホナー公式が導出され、$(H,\widetilde{H})$-調和写像に及ぼされる曲率効果の解析が可能になった。
• パネイツ型作用素の導入により、精緻化されたボッホナー型定理が得られ、曲率と調和性の関係が明確にされた。
• 葉付き$(H,\widetilde{H})$-正則写像は、その葉付きホモトピー類内で水平エネルギー汎関数の最小化者であることが示され、リヒネロヴィッチ型の結果が得られた。
• 一意的継続定理が証明され、水平定数写像または葉付き$(H,\widetilde{H})$-正則写像を特徴づけるものとなった。
• イェルズ＝サムソン型の存在定理が確立された：両多様体がコンパクトなサスカリアン多様体であり、像多様体が非正の水平断面曲率をもつならば、$(H,\widetilde{H})$-調和写像が存在する。
• コンパクトで正則なサスカリアン多様体で、水平曲率が強く負または十分に負である場合、葉付き剛性およびシウ型の強い剛性定理が証明された。