[論文レビュー] On Hahn polynomial expansion of a continuous function of bounded variation

René Goertz, Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、区間 $[-1,1]$ の等間隔グリッド上で、Hahn多項式を用いた最小二乗近似の点収束を検討する。関数が有界 variation を持つ場合、$n^4/N \to 0$ のとき収束が成立し、漸近的同値性と誤差評価 $n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N$ を通じて離散的 Hahn 展開と連続的 Jacobi 展開を結びつける。主たる貢献は、グリッドの細分化に伴う Hahn 多項式展開の収束に関する定量的基準の確立である。

ABSTRACT

We consider the well-known method of least squares on an equidistant grid with $N+1$ nodes on the interval $[-1,1]$. We investigate the following problem: For which ratio $N/n$ and which functions, do we have pointwise convergence of the least square operator ${LS}_n^N:\mathcal{C}\left[-1,1 ight] ightarrow\mathcal{P}_n$? To solve this problem we investigate the relation between the Jacobi polynomials $P_k^{α,β}$ and the Hahn polynomials $Q_k\left(\cdot;α,β,N ight)$. Thereby we describe the least square operator ${LS}_n^N$ by the expansion of a function by Hahn polynomials. In particular we present the following result: The series expansion $\sum_{k=0}^n{\hat{f} Q_k}$ of a function $f$ by Hahn polynomials $Q_k$ converges pointwise, if the series expansion $\sum_{k=0}^n{\hat{f} P_k}$ of the function $f$ by Jacobi polynomials $P_k$ converges pointwise and if ${n^4}/N ightarrow 0$ for $n,N ightarrow\infty$. Furthermore we obtain the following result: Let $f\in\left\{g\in\mathcal{C}^1\left[-1,1 ight]:g^\prime\in\mathcal{BV}\left[-1,1 ight] ight\}$ and let $(N_n)_{n}$ be a sequence of natural numbers with ${n^4}/{N_n} ightarrow 0$. Then the least square method ${LS}_n^{N_n}[f]$ converges for each $x\in[-1,1]$.

研究の動機と目的

• 連続的有界 variation 関数が $[-1,1]$ 上で、最小二乗作用素 $ {LS}_n^N $ の点収束が成立する条件を同定すること。
• 漸近的極限を用いて、離散的 Hahn 多項式展開と連続的 Jacobi 多項式展開を結びつけること。
• グリッド解像度 $N$ と対応する Jacobi 展開誤差を用いて、Hahn 多項式近似の誤差評価を導出すること。
• 関数 $f \in \mathcal{C}^1[-1,1]$ で $f' \in \mathcal{BV}[-1,1]$ を満たす場合に、最小二乗法の収束を保証する臨界比 $N/n$ を特定すること。

提案手法

• 最小二乗作用素 $ {LS}_n^N[f] $ を、離散内積を用いた Hahn 多項式展開の切り捨てとして表現する。
• 漸近的関係 $ \lim_{N\to\infty} (-1)^k \binom{k+\alpha}{k} Q_k(\frac{N}{2}(1+x); \alpha,\beta,N) = P_k^{\beta,\alpha}(x) $ を用いて Hahn と Jacobi 多項式を結びつける。
• 漸近展開とガンマ関数の恒等式を用いて、Hahn 展開係数と Jacobi 展開係数の差を推定する。
• Hahn 展開の点ごとの誤差を、Jacobi 展開誤差と余剰項 $ \mathcal{O}(n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N) $ の和で上から抑える。
• 関数 $\mathcal{C}[-1,1] \cap \mathcal{BV}[-1,1]$ に対する Jacobi 展開の既知の収束結果を応用し、Hahn 展開に対しても収束を導く。
• 関数 $ f \in \mathcal{C}^1[-1,1] $ で $ f' \in \mathcal{BV}[-1,1] $ のとき、$ n^4/N \to 0 $ が点収束の十分条件であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が有界 variation を持つ連続関数に対して、Hahn 多項式による最小二乗近似が点収束するための $ N/n $ の条件は何か？
• RQ2 Hahn 多項式近似の誤差は、対応する Jacobi 多項式展開の誤差とどのように関係するか？
• RQ3 $ N \to \infty $ のとき Hahn 多項式展開の漸近的挙動は何か？ また、連続的 Jacobi 場合とどう関係するか？
• RQ4 滑らかな関数、特に $ f \in \mathcal{C}^1[-1,1] $ で $ f' \in \mathcal{BV}[-1,1] $ の場合に、特定のグリッド細分化比のもとで Hahn 展開の収束を保証できるか？

主な発見

• 関数 $ f \in \mathcal{C}[-1,1] \cap \mathcal{BV}[-1,1] $ に対して、$ n \leq n(\alpha,N) $ のもとで、Hahn 展開誤差は Jacobi 展開誤差に $ \mathcal{O}(n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N) $ を加えたもので上から抑えられる。
• 対応する Jacobi 展開が収束し、かつ $ n^4/N \to 0 $ である限り、Hahn 展開の点収束が保証される。
• 関数 $ f \in \{ g \in \mathcal{C}^1[-1,1] : g' \in \mathcal{BV}[-1,1] \} $ に対して、$ n^4/N_n \to 0 $ であれば、任意の $ x \in [-1,1] $ で $ {LS}_n^{N_n}[f] $ の収束が成立する。
• 最小二乗法の収束を保証するための臨界グリッド比は、$ n \to \infty $ のとき $ N/n \to \infty $ となるが、$ n^4/N \to 0 $ が十分条件である。
• 誤差評価はパラメータ $ \alpha $ に依存し、$ \alpha $ が大きいほど余剰項における $ n $ の指数が増加する。
• グリッド解像度 $ N $ が十分に大きくなるとき、$ n $ が $ N $ に対して十分にゆっくりと増加する限り、Hahn 多項式展開は Jacobi 展開を誤差 $ N \to \infty $ のオーダーで近似する。