[論文レビュー] On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws

Boris Dubrovin, Siqi Liu+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 44被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、保存則の双曲的系に対するハミルトニアン摂動について、準自明性定理を確立する。任意の双ハミルトニアン摂動が、ジャット座標における有理的準ミウラ変換によって、すべての次数で消去可能であることを証明する。主な貢献は、ミウラ型変換の下での不変量の体系的分類と、微分多項式構造とパウッソンペア理論を用いた、複雑な摂動的偏微分方程式を標準形に還元する一般枠組みの構築にある。

ABSTRACT

We study the general structure of formal perturbative solutions to the Hamiltonian perturbations of spatially one-dimensional systems of hyperbolic PDEs. Under certain genericity assumptions it is proved that any bihamiltonian perturbation can be eliminated in all orders of the perturbative expansion by a change of coordinates on the infinite jet space depending rationally on the derivatives. The main tools is in constructing of the so-called quasi-Miura transformation of jet coordinates eliminating an arbitrary deformation of a semisimple bihamiltonian structure of hydrodynamic type (the quasitriviality theorem). We also describe, following \cite{LZ1}, the invariants of such bihamiltonian structures with respect to the group of Miura-type transformations depending polynomially on the derivatives.

研究の動機と目的

• 1次元の双曲的保存則系に対するハミルトニアン摂動の一般的形式的枠組みを構築すること。
• 微分多項式としての変換の下での双ハミルトニアン構造の不変量を分類すること。
• 半単純な流体的型パウッソン構造の任意の双ハミルトニアン変形が、ジャット空間内の有理的座標変換によって消去可能であることを証明すること。
• パウッソンペア理論と微分多項式の理論を用いて、ハミルトニアン偏微分方程式の一般還元法を確立すること。
• 形式的べき級数展開におけるハミルトニアン系の摂動項を体系的に除去するアプローチを提供すること。

提案手法

• ジャット微分の有理的関数としての準ミウラ変換を構築し、流体的型パウッソン構造に対するすべての双ハミルトニアン摂動を消去する。
• 各微分の次数を明示的に定義する微分多項式理論を適用：deg(w^{(m)}) = m, deg(w^{(m)}) = m+2（微分の次数を考慮）。
• 局所的かつ多項式的係数を有するジャット変数におけるパウッソン括弧を用い、ハミルトニアン力学と整合性を保つ。
• スペクトルパラメータλを用いたラックスペア形式を用いて、回転係数を記述するラメ型方程式の解を特徴付ける。
• λ = ∞およびλ = 0における線形過決定系の解を用いて、平坦ペアの2つの計量の平坦座標を構成する。
• 双ハミルトニアン構造の分類問題を、回転係数γ_{ij}に関する方程式系(A.2)–(A.4)の解法に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての半単純な流体的型系に対する双ハミルトニアン摂動は、ジャット空間内の座標変換によって消去可能か？
• RQ2 微分多項式としての変換の下での双ハミルトニアン構造の不変量は何か？
• RQ3 微分多項式形式を用いて、双曲的偏微分方程式のハミルトニアン摂動の一般的構造をどのように分類できるか？
• RQ4 スペクトルパラメータλは、パウッソンペアの共通のカシミール関数および平坦座標を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ5 回転係数γ_{ij}は、基礎となるパウッソンペアの幾何構造をどのように決定するか？

主な発見

• 準自明性定理が証明された：任意の半単純な流体的型パウッソン構造に対する双ハミルトニアン摂動は、ジャット座標における有理的準ミウラ変換によって、すべての次数で消去可能である。
• ミウラ型変換の下での双ハミルトニアン構造の不変量は、パウッソンペアの中心不変量を用いて完全に記述される。
• 回転係数γ_{ij}に関する方程式系(A.2)–(A.4)の解は、1変数関数n(n−1)個の任意関数によってパラメータ化可能であり、半単純な双ハミルトニアン構造の一般的分類が可能になる。
• 平坦ペアの2つの計量の平坦座標は、λ = ∞およびλ = 0における線形系(A.12)の基本解から積分を用いて構成される。
• ハミルトニアン系(1.7)の形式的べき級数展開は、提案された変換によって標準形に還元可能であり、局所性と多項式構造を保つ。
• 本手法は、固有値が相異なることと構造係数の滑らかさという条件を満たす限り、すべての半単純な双ハミルトニアン系に一般に適用可能である。