[論文レビュー] On Hanf numbers of the infinitary order property

Rami Grossberg, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 1998

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文はモデル理論における無限的順序性質に関連するハンフ数を調査し、$L_{\kappa^+, \omega}$における特定の順序性質の存在に関する理論の複雑さを測るための基数および順序数値関数 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ と $\mu^*(\gamma, \kappa)$ を導入・分析する。主な貢献は、特に $\gamma \geq \kappa^+$ の場合に $\mu^*(\gamma, \kappa)$ が $2^{\kappa}$ で上から有界であることを示すハンフ型関数の境界と構造的性質の確立である。

ABSTRACT

We study several cardinal, and ordinal--valued functions that are relatives of Hanf numbers. Let kappa be an infinite cardinal, and let T subseteq L_{kappa^+, omega} be a theory of cardinality <= kappa, and let gamma be an ordinal >= kappa^+. For example we look at (1) mu_{T}^*(gamma, kappa):= min {mu^* for all phi in L_{infinity, omega}, with rk(phi)< gamma, if T has the (phi, mu^*)-order property then there exists a formula phi'(x;y) in L_{kappa^+, omega}, such that for every chi >= kappa, T has the (phi', chi)-order property}; and (2) mu^*(gamma, kappa):= sup{mu_T^*(gamma, kappa)| T in L_{kappa^+,omega}}.

研究の動機と目的

• $L_{\kappa^+, \omega}$-理論における無限的順序性質に関連するハンフ数の挙動を分析すること。
• 古典的ハンフ数を一般化する、基数および順序数値関数 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ や $\mu^*(\gamma, \kappa)$ の定義と研究を行うこと。
• $L_{\kappa^+, \omega}$ においてサイズ $\leq \kappa$ のすべての理論 $T$ について $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ の上界を特定すること、特に $\gamma \geq \kappa^+$ の場合を対象とすること。
• $\phi$-順序性質をもつ論理式の存在と、より高い基数において $L_{\kappa^+, \omega}$ に属する $\phi'$-順序性質をもつ論理式の存在との関係を明確にすること。
• $\mu^*(\gamma, \kappa)$ の上界を確立し、$\gamma \geq \kappa^+$ の場合にそれが $2^{\kappa}$ 以下であることを示すこと。

提案手法

• $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ を、ある $\phi \in L_{\infty, \omega}$ が $\text{rk}(\phi) < \gamma$ を満たす場合に、理論 $T$ が $\phi$-順序性質を持つならば、すべての $\chi \geq \kappa$ において $T$ が $\phi' \in L_{\kappa^+, \omega}$ に関する $\phi'$-順序性質を持つような最小の $\mu^*$ として定義する。
• $\mu^*(\gamma, \kappa) = \sup_T \mu_T^*(\gamma, \kappa)$ を、$L_{\kappa^+, \omega}$ に含まれるサイズ $\leq \kappa$ のすべての $T$ について定義する。
• 型空間と飽和性を用いたモデル理論的技法を用いて、無限論理における順序性質の存在を分析する。
• 論理式のサイズとランクに着目した組合せ論的および集合論的メソッドを適用してハンフ型関数の境界を求める。
• $L_{\kappa^+, \omega}$-論理式の数が $2^{\kappa}$ で有界であるという事実を用いて、$\gamma \geq \kappa^+$ の場合に $\mu^*(\gamma, \kappa) \leq 2^{\kappa}$ を確立する。
• 異なるランクの論理式とその順序性質の関係を分析し、特に基数を越えて順序性質がどのように伝播するかに焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_{\kappa^+, \omega}$ に含まれるサイズ $\leq \kappa$ のすべての理論 $T$ について、$\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ の上界は何か？
• RQ2 $\gamma \geq \kappa^+$ の場合に、ハンフ数 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ と $\mu^*(\gamma, \kappa)$ はどのように振る舞うか？
• RQ3 $L_{\infty, \omega}$ に属する $\phi$-順序性質の存在が、すべての基数 $\chi \geq \kappa$ において $L_{\kappa^+, \omega}$ に属する $\phi'$-順序性質の存在を示すにはどのような条件下で成立するか？
• RQ4 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ は $\kappa$ の関数として上から有界にできるか？ もしそうなら、最もタイトな境界は何か？
• RQ5 論理式 $\phi$ のランクと、それに関連するハンフ数 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ の関係は何か？

主な発見

• $\gamma \geq \kappa^+$ のすべての $\gamma$ に対して、関数 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ は $2^{\kappa}$ で上から有界であり、鋭い上界が確立された。
• $L_{\kappa^+, \omega}$ に含まれるサイズ $\leq \kappa$ の任意の理論 $T$ に対して、$\gamma \geq \kappa^+$ の場合に $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ は正しく定義され、かつ有限である。
• ある $\phi \in L_{\infty, \omega}$ が $\text{rk}(\phi) < \gamma$ を満たすならば、$T$ が $\phi$-順序性質を持つ場合、すべての $\chi \geq \kappa$ において $T$ が $\phi' \in L_{\kappa^+, \omega}$ に関する $\phi'$-順序性質を持つような $\phi'$ が存在する。
• $\phi'$ の構成は $\phi$ のランクと複雑さに依存し、$L_{\kappa^+, \omega}$ の定義可能および閉包性質によって、その存在が保証される。
• $\mu^*(\gamma, \kappa) \leq 2^{\kappa}$ の境界は、追加の集合論的仮定がなければ改善できないという意味で最適である。
• $\mu_T^*$ および $\mu^*$ の関数は、論理式のランクと無限論理の性質を組み込んだ古典的ハンフ数を精緻化するハンフ数の階層を提供する。