[論文レビュー] On harmonic analysis of spherical convolutions on semisimple Lie groups

Olufemi O. Oyadare|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、中心が有限な連結な単純なリー群上のハリシュ・チャンドラ変換の一般化として球面畳み込みを導入し、新たなプランシュレの公式を通じて調和解析におけるその役割を確立する。主な貢献は、$ L^2(G//K) $ と $ L^2(\frak{F}^1, d\tilde{u}_{x,\lambda})^\mathfrak{w} $ の間のユニタリ同型写像であり、ハリシュ・チャンドラの $ c $-関数と球面フーリエ変換を用いて明示的に計算されたプランシュレ測度を含む。

ABSTRACT

This paper contains a non-trivial generalization of the Harish-Chandra transforms on a connected semisimple Lie group $G,$ with finite center, into what we term spherical convolutions. Among other results we show that its integral over the collection of bounded spherical functions at the identity element $e \in G$ is a weighted Fourier transforms of the Abel transform at $0.$ Being a function on $G,$ the restriction of this integral of its spherical Fourier transforms to the positive-definite spherical functions is then shown to be (the non-zero constant multiple of) a positive-definite distribution on $G,$ which is tempered and invariant on $G=SL(2,\mathbb{R}).$ These results suggest the consideration of a calculus on the Schwartz algebras of spherical functions. The Plancherel measure of the spherical convolutions is also explicitly computed.

研究の動機と目的

• 単純なリー群上での新しい関数類「球面畳み込み」を用いて、ハリシュ・チャンドラ変換を一般化すること。
• $ L^2(G//K) $ と球面基本関数の空間上の重み付き $ L^2 $-空間の間のユニタリ同型写像を確立すること。
• 球面畳み込みのプランシュレ測度を、ハリシュ・チャンドラの $ c $-関数と球面フーリエ変換を用いて明示的に計算すること。
• 球面畳み込みと $ G $ 上の緩やかな不変分布との関係を、特に $ G = SL(2,\mathbb{R}) $ の場合に探ること。
• 球面関数のシュワーツ代数上の微積分学の基盤を、球面ボッハナー定理とプランシュレ理論を用いて築くこと。

提案手法

• $ f \in \mathcal{C}^p(G//K) $ および球面関数 $ \varphi_\lambda $ を用いて、球面畳み込みを $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f = (f * \varphi_\lambda)(x) $ として定義する。
• 球面フーリエ変換 $ \widehat{f}(\lambda) = \int_A f(a) e^{\lambda(\log a)} da $ を用いて、$ f $ を球面基本関数の空間 $ \frak{F}^1 $ 上の変換に関連付ける。
• 測度 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = |\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)|^{-2} d\mu(\lambda) $ を用いて、球面ボッハナー測度を正規化することで、プランシュレの公式を確立する。
• 既知のプランシュレ理論と $ \widehat{\varphi_\lambda} $ の性質を用いて、写像 $ f \mapsto \widehat{\mathcal{H}_{x,\lambda}f} $ が $ L^2(G//K) $ から $ L^2(\frak{F}^1, d\zeta_{x,\lambda})^\mathfrak{w} $ へのユニタリ同型写像であることを証明する。
• プランシュレ測度を $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = |\mathfrak{w}|^{-1} |\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)|^{-2} |c(\lambda)|^{-2} d\mu(\lambda) $ として明示的に計算し、ここで $ c(\lambda) $ はハリシュ・チャンドラの $ c $-関数である。
• $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ のワイル群不変性と $ G = KAN $、$ G = K \cdot \overline{A^+} \cdot K $ の構造を用いて、$ x = e $ および $ \lambda = 0 $ における畳み込みの振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハリシュ・チャンドラ変換は、単純なリー群上のより広い関数類にどのように一般化できるか？
• RQ2 球面畳み込み $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ は $ G $ 上の関数としてどのような構造を持ち、球面フーリエ変換とどのように関係するか？
• RQ3 球面畳み込みのプランシュレ測度が、群 $ G $ 上の古典的プランシュレ測度に還元される条件は何か？
• RQ4 球面畳み込みのプランシュレ測度 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) $ の正確な形は何か？また、$ c $-関数と球面フーリエ変換にどのように依存するか？
• RQ5 球面畳み込みは単位元 $ x = e $ でどのように振る舞い、これによりアベル変換や $ \Xi $-関数との関係にどのような示唆を得られるか？

主な発見

• 球面畳み込み $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ は $ \mathcal{P} $ 上で正しく定義されており、ワイル群不変であり、その球面フーリエ変換は、正定値分布 $ T $ に対して $ T[\varphi_\lambda] $ の非ゼロ定数倍に積分される。
• $ \mathcal{P} $ 上での $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ の球面フーリエ変換の積分は、正定値的で、緩やかで、$ G $-不変な分布として $ SL(2,\mathbb{R}) $ 上に示される。
• 球面畳み込みのプランシュレの公式は、$ \int_G |f(y)|^2 dy = \int_{\frak{F}^1} |\widehat{\mathcal{H}_{x,\lambda}f}(\nu)|^2 d\zeta_{x,\lambda}(\nu) $ として確立され、ここで $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = \left|\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)\right|^{-2} d\mu(\lambda) $ である。
• 球面畳み込みのプランシュレ測度は、$ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = |\mathfrak{w}|^{-1} \left|\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)\right|^{-2} \left|c(\lambda)\right|^{-2} d\mu(\lambda) $ として明示的に計算され、ハリシュ・チャンドラの $ c $-関数と関連づけられる。
• $ x = e $ では、球面畳み込みは $ \mathcal{H}_{e,\lambda}f = \widehat{f}(\lambda) $ に簡略化され、古典的球面フーリエ変換が回復され、新しい枠組みが既知の調和解析と結びつく。
• 球面畳み込み変換の逆は、波パッケージの公式 $ (\mathcal{H}_{x,\lambda}f)^{-1}(b)(y) = \int_{\frak{F}^1} b(\lambda) \varphi_\lambda(y) d\zeta_{x,\lambda}(\nu) $ で与えられ、これは $ L^2 $ 内の正規化された正確な波パッケージである。