[論文レビュー] On harmonic function for the killed process upon hitting zero of asymmetric Lévy processes

Kouji Yano|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非対称なレヴィ過程における吸収されたレヴィ過程がゼロに到達した際、正規化されたゼロリゾルベントが調和的であることを確立している。これは、対称なレヴィ過程における先行研究を拡張するものである。拡張の理論とフーリエ解析を用いて、局所時間の密度 ρ(t) の存在を証明し、対称な場合と類似した分解公式が、ラプラス指数の漸近的解析によって明示的な減衰率を伴って得られることを示している。

ABSTRACT

For a certain class of asymmetric Lévy processes where the origin is regular for itself, the renormalized zero resolvent is proved to be harmonic for the killed process upon hitting zero.

研究の動機と目的

• 吸収されたレヴィ過程の調和関数論を、対称な場合から非対称な場合へ拡張すること。
• 一般のレヴィ過程の条件下で、正規化されたゼロリゾルベントの調和性を確立すること。
• 3次元のバessel過程のケースに類似した、調和変換を用いた拡張測度の分解公式を導出すること。
• レヴィ測度に適切なスケーリング条件を課した下で、拡張局所時間の局所的可積分な密度 ρ(t) の存在を導出すること。

提案手法

• 特徴指数 Ψ(λ) のレヴィ＝キンチン表現を用いて、ゼロが自身に対して正規的である非対称レヴィ過程のクラスを特徴付ける。
• 拡張理論を適用して拡張測度 n と局所時間 L(t) を定義し、リゾルベント密度 r_q(x) を用いて正規化を行う。
• リゾルベントのラプラス変換に対するフーリエ逆変換技術を用いて、拡張局所時間の密度 ρ(t) を回復する。
• 特徴指数の実部と虚部 θ(λ) と ω(λ) に対する漸近的境界を導出し、リゾルベントおよびその導関数の成長を制御する。
• 積分可能性を保証するため、(L1′) 条件を用いてフーリエ変換の可積分性を確保し、ρ(t) の逆変換を得る。
• 複素解析とリゾルベントおよびその導関数に対する点ごとの推定を用いて、φ(x) が L¹ に属することを証明し、ρ(t) の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称レヴィ過程の設定下で、ゼロで吸収された過程における正規化されたゼロリゾルベントは調和的か？
• RQ2 対称な場合と同様に、調和変換を用いた時間変換過程への拡張測度の分解は可能か？
• RQ3 レヴィ測度にどのような条件を課すと、拡張局所時間の局所的可積分な密度 ρ(t) が存在するか？
• RQ4 特徴指数の実部と虚部の漸近的挙動は、リゾルベントおよびその導関数の可積分性にどのように影響するか？

主な発見

• 非対称レヴィ過程の設定下で、ゼロで吸収された過程において、正規化されたゼロリゾルベントはゼロに到達した際に調和的である。
• (L1′)、(L2)、および (T) の条件下で、z = 1 + ix におけるリゾルベントの2階および1階微分を用いて定義される関数 φ(x) は L¹(ℝ) に属し、これにより密度 ρ(t) の存在が保証される。
• 拡張測度 n は、調和変換を含む分解公式を有し、ρ(t) = (1/e^{-t}t²) × (1/2π) ∫ e^{itx}φ(x) dx と表される。
• 密度 ρ(t) は局所的可積分であり、t → 0+ のとき ρ(t) ∼ t^{-2} を満たし、安定指数 α によってその減衰率が決定される。
• リゾルベントおよびその導関数の漸近的挙動は、θ(λ) と ω(λ) に対するべき乗法則の境界によって制御され、φ(x) の可積分性が (1 + |x|)^{-1/α - 1} の減衰率を伴って得られる。
• 証明により、吸収された過程の調和変換は、明確な拡張密度を有する時間変換過程に対応することが示され、対称な場合の結果が非対称レヴィ過程へ拡張された。