[論文レビュー] On Harmonic $ u$-Bloch and $ u$-Bloch-type mappings

Gang Liu, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Analytic and geometric function theory被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、調和 $ν$-Bloch写像の一般化として調和 $ν$-Bloch型写像を導入し、これらの写像における劣分数原理を確立する。また、$β^{*}_{H}(\nu)$ および $β_{H}(\nu)$ 内の保向的調和写像について $p$-Bohr半径を導出し、その半径が原点における歪みおよびパラメータ $\nu$ に依存することを示す。明示的な評価は積分推定および超幾何関数を用いて得られる。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. One is to introduce the class of harmonic $\ u$-Bloch-type mappings as a generalization of harmonic $\ u$-Bloch mappings and thereby we generalize some recent results of harmonic $1$-Bloch-type mappings investigated recently by Efraimidis et al. \\cite{EGHV}. The other is to investigate some subordination principles for harmonic Bloch mappings and then establish Bohr's theorem for these mappings and in a general setting, in some cases.

研究の動機と目的

• 調和 $ν$-Bloch写像を一般化するために、調和 $ν$-Bloch型写像のクラスを導入すること。
• 空間 $β_{H}(1)$ および $β^{*}_{H}(1)$ 内の調和Bloch写像における劣分数原理を調査すること。
• 空間 $β_{H}(\nu)$ および $β^{*}_{H}(\nu)$ 内の保向的調和写像における $p$-Bohr半径を特定すること。
• 保向的条件下での $β^{*}_{H}(\nu)$ 内の写像について、成長および係数推定を確立すること。

提案手法

• 半ノルム $\beta^{*}_{\nu}(f) = \sup_{z\in\mathbb{D}} (1-|z|^2)^\nu \sqrt{|J_f(z)|} < \infty$ を用いて調和 $\nu$-Bloch型写像を定義する。
• 解析的関数 $h$ および $g$ を用いた標準的分解 $f = h + \overline{g}$ を用い、ヤコビアン $J_f = |h'|^2 - |g'|^2$ を分析する。
• 劣分数技法および超幾何関数 $F_k(r)$ を含む積分推定を適用し、係数級数の境界を求める。
• 擬ノルム $||f||_{\mathcal{B}^{*}_{H}(\nu)}$ および歪み $\omega_f(0)$ を用いて、$|a_0| + \sum_{n=1}^\infty (|a_n|^p + |b_n|^p)^{1/p} r^n$ の境界を導出する。
• 超越方程式を解くことにより $p$-Bohr半径を確立する。その方程式には $r$, $\nu$, $p$, および $|\omega_f(0)|$ が含まれる。
• 写像が保向的である条件 $|g'| < |h'|$ を用いて成長を制御し、$p$-級数が半径 $r$ まで収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和 $ν$-Bloch写像は、どのように $ν$-Bloch型条件を用いてより広いクラスの写像へ一般化できるか？
• RQ2 空間 $\mathcal{B}_H(1)$ および $\mathcal{B}^{*}_H(1)$ 内の調和写像を支配する劣分数原理は何か？
• RQ3 $\mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ 内の保向的調和写像における $p$-Bohr半径の正確な値または境界は何か？
• RQ4 $p$-Bohr半径は歪み $\omega_f(0)$ およびパラメータ $\nu$ にどのように依存するか？

主な発見

• 保向的かつ $||f||_{\mathcal{B}^{*}_H(\nu)} \leq 1$ を満たす $f \in \mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ に対して、$\nu \in (k/2, (k+1)/2]$ のとき、$p$-Bohr半径は $\max\{r_1(\nu,p,|\omega_f(0)|), r_2(k,p,|\omega_f(0)|)\}$ で有界である。
• 半径 $r_1(\nu,p,|\omega_f(0)|)$ は、$(0,1)$ 内の唯一の解として $3(1-|\omega_f(0)|)(1-r^2)^{2\nu+1} - M_p \pi^2 (1+|\omega_f(0)|) r^2 = 0$ に従う。ここで $M_p = \max\{2^{2/p-1}, 1\}$ である。
• 半径 $r_2(k,p,|\omega_f(0)|)$ は、$2M_p(1+|\omega_f(0)|)r F_{k+1}(r) - (1-|\omega_f(0)|)(1-r) = 0$ の唯一の解として与えられる。ここで $F_k(r)$ は本稿で定義された超幾何関数である。
• $\nu=1$ のとき、$|\omega_f(0)| = t$ を満たす $f_t(z) = h_t(z) + \overline{g_t(z)}$ の $p$-Bohr半径は $t \to 1^{-}$ のとき 0 に近づくため、歪みに強く依存することが示唆される。
• 任意の $\nu > 0$ に対して、空間 $\mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ は線形でないが、$\mathcal{B}_H(\nu)$ を真の部分集合として含む。
• $f \in \mathcal{B}(\nu)$ に対して、$p$-Bohr半径は $r_1(\nu,p)$ で有界であり、これは一般ケースと同一の式から得られ、$|\omega_f(0)| = 0$ の場合である。