[論文レビュー] On Harnack inequalities and singularities of admissible metrics in the Yamabe problem

Neil S. Trudinger, Xu‐Jia Wang|ArXiv.org|Sep 15, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$n \geq 3$ および $n/2 < k \leq n$ の条件下で、コンpakトなリーマン多様体上の $k$-ヤマベ問題における $k$-適正な計量について、鋭いハルナック不等式とコンパクト性を確立し、ヤマベ型の非線形共形曲率方程式の解の存在および一意性に関する結果を示している。変分的でない設定へと変分法および位相的次数論的手法を拡張することにより、$k > n/2$ の場合の $k$-ヤマベ問題の可解性が解決された。

ABSTRACT

In this paper we study the local behaviour of admissible metrics in the k-Yamabe problem on compact Riemannian manifolds $(M, g_0)$ of dimension $n\ge 3$. For $n/2 n/2$.

研究の動機と目的

• $n/2 < k \leq n$ のとき、$(M,g_0)$ が $S^n$ に共形同値でない場合の $k$-適正計量における鋭いハルナック不等式を確立すること。
• $\mathbb{R}^n$ 上の $k$-適正計量の特異点を分類し、それらのホルダー連続性を特定すること。
• $p \neq k$ の非線形共形 $k$-ヘッシアン方程式 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$ の解の存在および一意性を証明すること。
• 変分的領域を超えて $k$-ヤマベ問題の可解性結果を拡張し、特に $k > n/2$ の場合に適用すること。
• 一般の非線形項の成長条件のもとで解の存在を示すための位相的次数論的枠組みを確立すること。

提案手法

• $S^n$ に共形同値でない多様体上の $k$-適正計量に対して、$\max \chi(x)/\chi(y) \leq \exp(C|x-y|^{2-n/k})$ の形をした鋭いハルナック不等式を導出すること。
• $v = \chi^{(n-2)/4}$ の弱ハルナック不等式および下調和性を用いて、$\{\chi = \infty\}$ の集合が測度ゼロであることを示すこと。
• $\mathbb{R}^n$ 上の $k$-適正計量の特異点を、点特異点 $g = C|x-x_0|^{-4}g_0$ または指数 $\alpha = 2 - n/k$ のホルダー連続な共形因子に分類すること。
• $\sigma_k(\lambda(V)) = t \varphi(x,v)$ に対する位相的次数論および事前評価を用い、$t=0$ から $t=t^*$ へのホモトピー法を適用すること。
• 最大原理およびサブ・スーパーソリューション技法を用いて、解の一様有界性を制御し、$t^*$ における解の存在を保証すること。
• $\varphi(x,t)$ の条件を緩和するため、$t^{-k}\varphi(x,t)$ の漸近的挙動を線形化問題の固有値 $\theta$ と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n/2 < k \leq n$ かつ $(M,g_0)$ が $S^n$ に共形同値でないとき、$k$-適正計量に対する鋭いハルナック不等式は何か？
• RQ2 $k > n/2$ のとき、$\mathbb{R}^n$ 上の $k$-適正計量の可能な特異点型は何か？
• RQ3 非変分的非線形項 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$（$p \neq k$）を伴う $k$-ヤマベ問題は解をもつか？
• RQ4 $M$ が $S^n$ に共形同値である場合にも、解の存在および一意性の結果を拡張できるか？
• RQ5 $\varphi(x,t)$ にどのような条件を課すと、$\sigma_k(\lambda(V)) = t \varphi(x,v)$ が複数の解を持つのか？

主な発見

• $n/2 < k \leq n$ かつ $(M,g_0)$ が $S^n$ に共形同値でないとき、$[g_0]_k$ は $C^0(M)$ 上でコンパクトであり、鋭いハルナック不等式 $\max \chi(x)/\chi(y) \leq \exp(C|x-y|^{2-n/k})$ を満たす。
• $\mathbb{R}^n$ 上では、任意の $k$-適正計量は、$g = C|x-x_0|^{-4}g_0$ の形の点特異点をとるか、指数 $\alpha = 2 - n/k$ のホルダー連続な共形因子を持つ。
• 任意の滑らかで正の $f$ および $p \neq k$ に対して、$n/2 < k \leq n$ かつ $[g_0]_k \neq \emptyset$ のとき、方程式 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$ に対して正の解が存在する。
• $p < k$ のとき、方程式 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$ の解は一意である。$p = k$ のとき、正の定数 $\theta$ が一意に存在し、$\sigma_k(\lambda(V)) = \theta f v^k$ はスケーリングを除き一意な解を持つ。
• $\varphi(x,t)$ が $\lim_{t \to \infty} t^{-k}\varphi(x,t) > \theta$ および $\lim_{t \to 0} t^{-k}\varphi(x,t) < \theta$ を満たすとき、$t^* > 0$ が存在し、$t < t^*$ では $\sigma_k(\lambda(V)) = t \varphi(x,v)$ が少なくとも2つの解を持ち、$t = t^*$ で1つの解を持ち、$t > t^*$ では解が存在しない。
• 非線形項が $\nabla v$ に依存する場合にも結果は拡張可能であり、(4.11) および (4.13) の成長条件は固有値 $\theta$ を閾値として用いることで緩和可能である。