[論文レビュー] On Harrington's model in which Separation holds but Reduction fails at the 3rd projective level, and on some related models of Sami

Vladimir Kanovei, Vassily Lyubetsky|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1975年にリー・ハリントンが未発表の形で示した結果を完全に証明する。ZFCのモデルにおいて、$Π^{1}_{3}$-Separationが成り立つが $Σ^{1}_{3}$-Reductionが成り立たないものであり、大数や決定性を仮定せず、almost-disjoint codingと強制法の技術を用いて、大規模な基数なしに第三階層の再帰的性質における還元の失敗を特定している。この結果は、再帰的階層における分離と還元の性質の間の厳密な分離を示している。

ABSTRACT

In a handwtitten note of 1975, Leo Harrington sketched a construction of a model of ZFC (no large cardinals or anything beyond ZFC!) in which $\mathbfΠ^1_3$-Separation holds but $\mathbfΣ^1_3$-Reduction fails. The result has never appeared in a journal or book publication except for a few of old references.

研究の動機と目的

• リー・ハリントンの1975年未発表の結果について、ZFCのモデルにおいて $Π^{1}_{3}$-Separationが成り立つが $Σ^{1}_{3}$-Reductionが成り立たないことを完全で公表済みの証明を与えること。
• 構成的宇宙Lの一般化拡大における第三階層での再帰的クラスの振る舞いを明確にすること。
• 大数や決定性を仮定せず、ZFCと強制法のみを用いて、$Σ^{1}_{3}$-Reductionが失敗するが $Π^{1}_{3}$-Separationが成り立つモデルを構成するという未解決問題を解消すること。
• サミの関連結果を拡張・形式化し、$n \geq 3$ における $Π^{1}_{n}$ および $Σ^{1}_{n}$ の分離と還元が、Lの一般化拡大においてどのように成立・不成立するかを体系的に明らかにすること。

提案手法

• 再帰的実数を一般化された実数にコード化するため、almost-disjoint coding強制法 $Χ$ を用いて、構成的宇宙L上の集合的強制法を実行すること。
• ハリントンのブール代数論理の手法を避けるために、標準的なposet強制法に置き換えることで、正則開代数の絶対性の欠如に起因する問題を回避すること。
• 強制絶対性を保証するため、$Σ^{1}_{3}$ および $Π^{1}_{3}$ 公式の強制絶対的翻訳 $φ^*$ を定義し、$β$-モデルを通じて一般化拡大における真偽を特徴付けること。
• 均一性および絶対性の補題を確立し、$β$-モデルが $φ^*$ を満たすことが、一般化拡大において元の公式 $φ$ が成り立つことと同値であることを保証すること。
• $Σ^{1}_{3}$-集合 $A_0, A_1$ を構成し、良い順序 $\leq^\text{g}_{xz}$ における最小の証拠を用いて、部分集合 $B_0, B_1$ を定義し、還元性をテストすること。
• もし $Σ^{1}_{3}$-Reductionが成り立つならば、$A_0, A_1$ の $Σ^{1}_{3}$-還元が、一般化コード構成に矛盾する $Σ^{1}_{3}$-集合を生じることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大数や決定性を仮定せず、ZFCのモデルにおいて $Π^{1}_{3}$-Separationが成り立つが $Σ^{1}_{3}$-Reductionが成り立たないモデルを構成できるか？
• RQ2 almost-disjoint codingによるLの一般化拡大における $Σ^{1}_{3}$-Reduction と $Π^{1}_{3}$-Separation の正確な振る舞いは何か？
• RQ3 再帰的公式の強制絶対的翻訳 $φ^*$ は、一般化拡大と $β$-モデルにおける真偽とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ標準的なブール代数論理のアプローチがこの文脈では失敗するのか？また、poset強制法に置き換えることで、その問題はどのように解決されるのか？
• RQ5 $Σ^{1}_{3}$-Reductionの失敗が、$Π^{1}_{3}$-Separationの失敗と一貫して分離可能か、同一モデル内で分離可能か？

主な発見

• $Π^{1}_{3}$-Separationが成り立つが $Σ^{1}_{3}$-Reductionが成り立たない集合的強制拡大がLに存在し、ハリントンの1975年の概要を裏付ける。
• $Σ^{1}_{3}$-Reductionの失敗は、$Σ^{1}_{3}$-集合 $A_0, A_1$ が、互いに素な $Σ^{1}_{3}$-部分集合 $B_0, B_1$ を用いて還元できないことによって達成される。
• 証明により、$β$-モデルが $φ^*(x)$ を満たすことは、一般化拡大において $φ(x)$ が成り立つことと同値であることが保証され、強制絶対性が確保される。
• ブール代数論理の代わりにposet強制法を用いることで、正則開代数の絶対性の欠如に起因する技術的問題が回避される。
• モデルはZFCとalmost-disjoint codingのみを用いて構成され、決定性や大数の仮定は一切用いない。
• この結果により、ZFCにおいても、第三階層の再帰的階層において $Σ^{1}_{3}$-Reduction が $Π^{1}_{3}$-Separation から従わないことが示された。