[論文レビュー] On Hashing-Based Approaches to Approximate DNF-Counting

Kuldeep S. Meel, Aditya A. Shrotri+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2017

Data Management and Algorithms参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、近似DNFモデルカウントに対して、従来のハッシュベース手法では達成不可能とされていた、時間計算量が最先端のモンテカルロ法と同等の完全多項式確率的近似スキーム（FPRAS）を達成する、新しいハッシュベースのアプローチを提案する。主な革新点は、シンボリックハッシュ、確率的セルカウント、および新しい形式の行階段型ハッシュ関数（HREX）であり、グレイコードを用いた効率的な列挙を可能にし、計算量を Õ(mn log(1/δ)/ε²) まで削減する。

ABSTRACT

Propositional model counting is a fundamental problem in artificial intelligence with a wide variety of applications, such as probabilistic inference, decision making under uncertainty, and probabilistic databases. Consequently, the problem is of theoretical as well as practical interest. When the constraints are expressed as DNF formulas, Monte Carlo-based techniques have been shown to provide a fully polynomial randomized approximation scheme (FPRAS). For CNF constraints, hashing-based approximation techniques have been demonstrated to be highly successful. Furthermore, it was shown that hashing-based techniques also yield an FPRAS for DNF counting without usage of Monte Carlo sampling. Our analysis, however, shows that the proposed hashing-based approach to DNF counting provides poor time complexity compared to the Monte Carlo-based DNF counting techniques. Given the success of hashing-based techniques for CNF constraints, it is natural to ask: Can hashing-based techniques provide an efficient FPRAS for DNF counting? In this paper, we provide a positive answer to this question. To this end, we introduce two novel algorithmic techniques: \emph{Symbolic Hashing} and \emph{Stochastic Cell Counting}, along with a new hash family of \emph{Row-Echelon hash functions}. These innovations allow us to design a hashing-based FPRAS for DNF counting of similar complexity (up to polylog factors) as that of prior works. Furthermore, we expect these techniques to have potential applications beyond DNF counting.

研究の動機と目的

• CNFカウントでは成功を収めたが、DNFカウントでは依然として効率的なハッシュベース近似手法のギャップを埋める。
• 従来のハッシュベースDNFカウント手法が、論理式サイズに対して四乗時間計算量であったという問題を克服する。
• 最先端のモンテカルロ手法と同等の計算量を達成する、ハッシュベースのFPRASをDNFカウントに設計する。
• 新しいアルゴリズム的プリミティブと特化したハッシュ族の導入により、ハッシュベース手法の実用的スケーラビリティを実現する。
• CNF+XOR や確率的SATソルブィングなどの他の制約クラスへのハッシュベース手法の拡張に基盤を築く。

提案手法

• スパースかつ高速な解の列挙を可能にするために、グレイコードを用いることを想定した、2-ユニバーサルなハッシュ関数の新族 HREX（行階段型）を提案する。
• DNF構造上のハッシュ関数の効率的表現と操作を可能にする、シンボリックハッシュという技術を導入する。
• 各セルの解の数を確率的に推定することで、各セルごとの正確なSATソルブィングに依存する必要を減らす、確率的セルカウントを提案する。
• HREX関数のスパarsityを活用して、解の列挙を高速化し、計算オーバーヘッドを低減する。
• 複数回の実行における中央値ブースティングを統合し、信頼度を 1−δ まで高め、高確率での正しさを保証する。
• サンプリングと集中不等式を用いた解数推定により、正しいセルサイズを特定する再帰的スレッショルド戦略を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハッシュベース手法が、モンテカルロ法と同等の時間計算量を達成するFPRASをDNFモデルカウントに適用できるか。
• RQ2 ハッシュベースDNFカウントを、時間的に効率的かつ高確率で正しく行うために、どのような新しいアルゴリズム的技術が必要か。
• RQ3 DNF論理式の構造をどのように活用すれば、効率的かつスパースなハッシュ関数を設計し、解の列挙を高速化できるか。
• RQ4 このフレームワークは、CNF+XOR や確率的SATなど、他の制約クラスへ一般化可能か。
• RQ5 提案されたハッシュベースFPRASの理論的時間計算量は何か。また、従来手法と比較してどう異なるか。

主な発見

• 提案されたアルゴリズム、SymbolicDNFApproxMC は、時間計算量 Õ(mn log(1/δ)/ε²) を達成し、最も効率的なモンテカルロ手法と同等のFPRASを実現する。
• HREXハッシュ関数族は、グレイコードを用いた効率的な解の列挙を可能にし、セルの解数評価コストを顕著に低減する。
• シンボリックハッシュにより、DNF節上でハッシュ関数のコンact表現と高速計算が可能となり、スケーラビリティが向上する。
• 確率的セルカウントにより、各セルごとの正確なSATソルブィングの必要性が減少し、性能が向上する。
• 理論的解析により、アルゴリズムが確率 1−δ 以上で (1+ε)-近似値を返すことが保証され、誤差境界は集中不等式から導出される。
• 計算量はほぼ最適であり、最先端手法と比較して多項対数因子しか差がない。長年の未解決問題であった、効率的ハッシュベースDNFカウントの可能性の解明に成功した。