[論文レビュー] On Heights and Diameters of Ternary Cyclotomic and Inclusion-Exclusion Polynomials

Gennady Bachman|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2026

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ひとこと要約

本論文は、任意の奇素数 p および 1..(p+1)/2 の任意の h に対して、三項超冪多項式 Φ_pqr の高さが h となり、直径 D(pqr) が h mod p に応じて 2h あるいは 2h−1 となるような、任意に大きな素数 q および r が存在することを示す。

ABSTRACT

For the $n$th cyclotomic polynomial $Φ_n$, let $A(n)$ denote the greatest absolute value of its coefficients, its height, and let $D(n)$ denote the difference between its largest and smallest coefficients, its diameter. We show that for any odd prime $p$ and an integer $h$ in the range $1\le h\le(p+1)/2$, there are arbitrarily large primes $q$ and $r$ such that $Φ_{pqr}$ has the height $h$. This certainly answers the question of whether every natural number occurs as the height of some cyclotomic polynomial. Our construction specifies explicit choices of $q$ and $r$ with $A(pqr)=h$, and for these choices $D(pqr)$ has one of two values: it is either $2h$ or $2h-1$, depending on the congruence class of $h$ modulo $p$.

研究の動機と目的

• 三項の超冪多項式/包含-排除多項式 Φ_pqr の高さがどのように現れるかを動機づけ、決定する。
• 与えられた p, h に対して指定された高さを実現する q, r を明示的に構成する。
• 固定パラメータ p に対して D(pqr) の可能な値と、それが h および p にどう依存するかを決定する。

提案手法

• 多項式を T={p,q,r} に対する包含-排除多項式 Q_T としてモデル化する。
• 係数表現 a_m を χ(n) を用いて、また n ≡ x qr + y pr + z pq (mod n) の線形表現を用いて A(T) を研究する。
• 対称性 A_T' = −A_T を確立し、A^+(T) および A^−(T) の評価へ還元する。
• t および s（モジュラ逆元から導かれる）に基づく A^±(T) の正確なケース(i)–(iv) を導出する。
• 係数の極値挙動を含む和 S(Q,R;M) を導入し、構成されたインデックス集合の有限探索から A^±(T) を抽出する。
• 必要な合同条件を満たすように q,r に対して素数の進行のディリクレの定理を適用し、任意に大きな q,r を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の h 1 ≤ h ≤ (p+1)/2 に対して、極大の q,r を取るとき A(pqr)=h を達成できるか。
• RQ2 固定 p に対して D(pqr) の可能な直径は何か、そしてそれらは h および p とどう関係するか。
• RQ3 包含-排除多項式が Φ_pqr の高さと直径の挙動をどう解明できるか。
• RQ4 q,r の explicit な合同条件（p に対して相対的に）によりどのように A^±(T) すなわち A(pqr) が決まるか。
• RQ5 直径の値を特定の値（例：2, p, 2h など）に強制することはどの程度可能か。

主な発見

• 奇素数 p と 1 ≤ h ≤ (p+1)/2 に対して、任意に大きな素数 q,r が存在して A(pqr)=h となる。
• これらの構成において、D(pqr) は h mod p による剰余クラスに応じて 2h または 2h−1 のいずれかとなる。
• p 固定のとき、少なくとも (p+1)/2 個の異なる直径関連の値に対して A(pqr)=h の可解性があり、また適切な p,q,r に対して D(pqr)=2 および D(pqr)=p が常に達成可能である。
• すべての偶数 d≥6 および多くの奇数値に対して少なくとも 1 個の素数 p に対して D(pqr)=d が解ける。
• 結果は三項の包含-排除多項式の height/diameter 問題を explicit なモジュラー配置と和 S(Q,R;M) に写し、先行研究を洗練・拡張する。
• このアプローチは χ(n) 表現を用いた係数の極値の体系的分析と、A^±(T) の有限でケース別の評価を用いる。