[論文レビュー] On heights of motives with semistable reduction

Teruhisa Koshikawa|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Mathematics and Applications参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数体上の純モチーフに対して、Faltingsの有限性および有界性に関する結果を、整数係数をもつ純モチーフへ一般化する。整数p進ホッジ理論を用いて、同種写像に関して不変な高さを定義する。主な貢献は、固定されたモチーフに対して、すべての場所で半安定還元をもつような同種写像で関連づけられるモチーフの高さの集合が有限であることを示したことである。これは、Faltingsの定理に類似した、モチーフの基本的な有限性性質を確立するものである。

ABSTRACT

We study heights of motives with integral coefficients over number fields introduced by Kato. It is a generalization of the Faltings height of an abelian variety and we establish generalizations of some properties of the Faltings height in our context as conjectured by Kato. This sheds some light on integral structures of motives.

研究の動機と目的

• アーベル多様体のFaltingsの有限性および有界性定理を、数体上の整数係数をもつ純モチーフへ拡張すること。
• 整数p進ホッジ理論を用いて、半安定還元をもつモチーフの同種写像に関して不変な高さを定義すること。
• Faltingsのアーベル多様体における有界性に類似した、モチーフの同種類に対する有界性結果を確立すること。
• 高さ理論をホッジ構造の変動およびファミリー上の有限性結果と結びつけること。
• 有界性結果が算術幾何における主要な予想（Tate予想、Shafarevich予想、Grothendieckの標準予想D）に与える影響を検討すること。

提案手法

• Kazuya Katoの純Z-モチーフの高さの定義を採用し、整数性および同種写像に関しての不変性を保つように、整数p進ホッジ理論を用いて修正する。
• 内部的および外部的整数p進ホッジ理論を用いて高さを定義・分析し、後者により代数的定義を幾何的ファミリーと結びつける。
• RaynaudによるFaltingsの証明の精密化において、有限平坦群スキームの代わりにねじれKisinモジュールを用い、高さを保つ同種写像を制御する。
• 対数滑らか退化およびホッジ構造の変動の理論を用いて、曲線および高次元の基底上でパラメータ付けられたモチーフのファミリーを研究する。
• ガロア表現の安定性を同種写像に関して分析することにより、同種類のサイズに対する有効な境界を確立する。
• 半安定還元条件を用いて、de Rhamコホロロジーに標準的な整数構造が存在することを保証し、高さの計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Faltingsのアーベル多様体における有限性および有界性定理は、整数係数をもつ純モチーフへ拡張可能か？
• RQ2 半安定還元をもつモチーフの高さは同種写像に関して不変であり、同種類の有界性に利用可能か？
• RQ3 対数滑らか退化をもつ、準射影的曲線でパラメータ付けられたモチーフのファミリーにおいて、高さが有界な点はどのように振る舞うか？
• RQ4 ホッジ構造の変動は、このようなファミリーにおいて高さが有界な有理点の数をどの程度制限するか？
• RQ5 有界性結果が、Tate予想やShafarevich予想を含む算術幾何における主要な予想に与える影響は何か？

主な発見

• すべての場所で半安定還元をもつ固定されたモチーフに同種写像で関連づけられる純Z-モチーフの高さの集合は有限であり、Katoの有界性予想を証明する。
• 同種類のサイズに対する有効な境界が確立され、有限性結果が計算可能であることを示す。
• 同種写像が整数p進ホッジ構造を保つとき、モチーフの高さは同種写像に関して不変である。これは重要な技術的結果である。
• 非等長なホッジ構造の変動をもつ、滑らかで準射影的曲線上でパラメータ付けられたモチーフのファミリーにおいて、高さが有界な有理点は有限個に限る。
• 有界性結果により、モチーブの有限性予想がTate予想、半単純性予想、およびShafarevich予想を含むことを示唆する。
• 奇数の重みをもつモジュラー・モチーブで、複素乗法をもつ場合、高さは有界であり、Katoの離散的モジュライ空間への予想を支持する。