[論文レビュー] On higher dimensional Hirzebruch-Jung singularities

Patrick Popescu‐Pampu|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、最大単体的ペア（格子 W と全次元の単体的錐 σ）によって定義されるアフィントーリック多様体の 0 次元の軌道と解析的に同型なホロモルフィックな芽として、ヒルツェブルーフ・ユング特異点を高次元に一般化する。特異点の解析的同型型が、その定義に用いられる格子と錐のペアを同型を除いて一意に決定することを証明し、局所基本群の標準的表現とオビフォールド被覆技術を用いる。これにより、準順序特異点の完全な組合せ的分類と、正規化アルゴリズムが得られる。

ABSTRACT

A germ of normal complex analytical surface is called a Hirzebruch-Jung singularity if it is analytically isomorphic to the germ at the 0-dimensional orbit of an affine toric surface. Two such germs are known to be isomorphic if and only if the toric surfaces corresponding to them are equivariantly isomorphic. We extend this result to higher-dimensional Hirzebruch-Jung singularities, which we define to be the germs analytically isomorphic to the germ at the 0-dimensional orbit of an affine toric variety determined by a lattice and a simplicial cone of maximal dimension. We deduce a normalization algorithm for quasi-ordinary hypersurface singularities.

研究の動機と目的

• ヒルツェブルーフ・ユング特異点の概念を、2 次元から高次元の複素解析的空間へ拡張すること。
• 格子と単体的錐ペアの組合せ的データを用いて、高次元ヒルツェブルーフ・ユング特異点を解析的同型を除いて分類すること。
• 特異点の組合せ的構造を用いて、既約な準順序特異点超曲面特異点の正規化アルゴリズムを確立すること。
• ヒルツェブルーフ・ユング特異点の解析的型が、その定義に用いられる最大単体的ペアを同型を除いて一意に決定することを証明すること。

提案手法

• 最大単体的ペア（全次元の単体的錐 σ と格子 W）によって定義されるアフィントーリック多様体の 0 次元の軌道と解析的に同型な芽として、高次元ヒルツェブルーフ・ユング特異点を定義する。
• 特異点の滑らか部分の普遍被覆のリーマン拡張として、オビフォールド写像 μ: (Z̃,0) → (Z,0) を構成する。
• オビフォールド被覆 (Z̃,0) のザリスキ余接空間上の局所基本群の標準的表現 ρ(Z) を分析する。
• ρ(Z) から特異点の解析的型を符号化する新たなペア (W(ρ(Z)), σ₀) を構成する。
• オビフォールド構造とモノドロミーデータを用いて、特異点の解析的型によってペア (W, σ) が同型を除いて一意に決定されることを証明する。
• 分類結果を応用し、分母と有理係数の最小公倍数を含む再帰的行列変換を用いて、準順序特異点超曲面特異点の標準形と正規化アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元ヒルツェブルーフ・ユング特異点の抽象的境界 K(Z) のホメオモルフィズム型が、その解析的型を決定するか？
• RQ2 特異点の解消を用いることで、局所基本群の標準的表現ではなく、高次元ヒルツェブルーフ・ユング特異点の分類が達成可能か？
• RQ3 非単体的錐によって定義されるアフィントーリック多様体の 0 次元の軌道の芽の解析的型が、同型を除いて一意に決定されるか？
• RQ4 一般のアフィントーリック多様体について、その抽象的境界（可能であれば追加構造を備えたもの）のホメオモルフィズム型が、その解析的型を決定するか？
• RQ5 標準的表現 ρ(Z) が巡回的かつ固定点をもたないとき、境界が解析的型を決定するための条件は何か？

主な発見

• 高次元ヒルツェブルーフ・ユング特異点の解析的同型型は、その定義に用いられる最大単体的ペア (W, σ) を同型を除いて一意に決定する。
• 既約な準順序特異点超曲面特異点の正規化は、最大単体的ペアによって定義されるトーリック多様体の 0 次元の軌道の芽と解析的に同型である。
• 分母と有理係数の最小公倍数を含む再帰的行列変換を用いて、準順序特異点超曲面特異点の正規化アルゴリズムを構成した。
• 標準的表現が巡回的かつ固定点をもたないとき、高次元ヒルツェブルーフ・ユング特異点の境界 K(Z) は一般化されたレンズ空間となり、この場合、境界が解析的型を決定する。
• オビフォールド被覆の余接空間上の局所基本群の標準的表現 ρ(Z) は、組合せ的データ (W(ρ(Z)), σ₀) を一意に決定し、これにより元のペア (W, σ) が同型を除いて回復可能である。
• f=0 で定義される準順序特異点超曲面特異点の正規化について、s_{ij}^k と r_{ij}^k の再帰的計算から得られる行列の成分を用いて、ヒルツェブルーフ・ユング型が得られ、最終的な型は最終的な有理係数の最大公約数によって決定される。