[論文レビュー] On higher-order Courant brackets

Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$m$次元多様体 $M$ に対して、直和バンドル $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上の高次コルダン括弧を導入し、$(n+1)$-テンソル場 $\pi$ のグラフが括弧に関して閉じるための必要十分条件が $\pi$ がナムブ=ポワンソン構造であることであることを確立している。これにより $\wedge^nT^*\!M$ 上にリーブニッツ代数的構造が誘導される。同様に、$(n+1)$-形式 $\omega$ のグラフが閉じるための必要十分条件は、$\omega$ が $n$ 階のプレマルチシンプレクティック構造であること、すなわち $\mathrm{d}_M\omega = 0$ であることである。これにより、適切な部分バンドル $A \subset \wedge^nT^*\!M$ 上にリー代数的構造が得られ、2-プレシンプレクティック構造はベイズらの研究で得られたリー2-代数を再現する。

ABSTRACT

In this paper, we study the algebraic properties of the higher analogues of Courant algebroid structures on the direct sum bundle $TM\oplus\wedge^nT^*M$ for an $m$-dimensional manifold. As an application, we revisit Nambu-Poisson structures and multisymplectic structures. We prove that the graph of an $(n+1)$-vector field $\pi$ is closed under the higher-order Dorfman bracket iff $\pi$ is a Nambu-Poisson structure. Consequently, there is an induced Leibniz algebroid structure on $\wedge^nT^*M$. The graph of an $(n+1)$-form $\omega$ is closed under the higher-order Dorfman bracket iff $\omega$ is a premultisymplectic structure of order $n$, i.e. $\dM\omega=0$. Furthermore, there is a Lie algebroid structure on the admissible bundle $A\subset\wedge^{n}T^*M$. In particular, for a 2-plectic structure, it induces the Lie 2-algebra structure given in \cite{baez:classicalstring}.

研究の動機と目的

• $m$-次元多様体に対して、$TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上の高次コルダン代数的構造を一般化すること。
• 高次ドルフマン括弧が $(n+1)$-テンソル場のグラフ上で閉じるための代数的条件を明確化すること。
• $(n+1)$-ベクトル場 $\pi$ のグラフが閉じるための必要十分条件がナムブ=ポワンソン構造であることの確立。
• $(n+1)$-形式に対しても同様の枠組みを拡張し、プレマルチシンプレクティック構造が閉じる条件として同定すること。
• 2-プレシンプレクティック形式から誘導されるリー代数的構造を通じて、既知の構造（例：リー2-代数）を回復すること。

提案手法

• シュタウエンベルク=ニエンフイーズ括弧と縮約作用素を用いて、バンドル $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上に高次ドルフマン括弧を定義する。
• $(n+1)$-ベクトル場 $\pi$ のグラフが高次ドルフマン括弧に関して閉じる条件を分析する。
• 閉じる条件が成立するための必要十分条件が、$\pi$ がナムブ=ポワンソン条件 $[\pi, \pi]_{SN} = 0$ を満たすことであることを証明する。
• $(n+1)$-形式 $\omega$ に対して、$\mathrm{d}_M\omega = 0$ であるとき、$n$ 階のプレマルチシンプレクティック構造と定義する。ここで $\mathrm{d}_M$ はド・ラーム微分作用素である。
• 形式 $\omega$ との縮約作用の核から得られる適切な部分バンドル $A \subset \wedge^nT^*M$ を構成し、これがリー代数的構造を誘導することを示す。
• 特に $n=2$ の場合、$A$ 上に誘導されるリー代数的構造が、古典的ストリング理論の文脈でベイズらが以前に構成したリー2-代数構造を再現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(n+1)$-ベクトル場 $\pi$ のグラフが $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上の高次ドルフマン括弧に関して閉じるための条件は何か？
• RQ2 $(n+1)$-形式 $\omega$ のグラフの閉じる性質は、マルチシンプレクティックまたはプレマルチシンプレクティック形式といった幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ3 $(n+1)$-テンソル場のグラフが高次ドルフマン括弧に関して閉じるとき、$\wedge^nT^*M$ 上にどのような代数的構造が誘導されるか？
• RQ4 高次コルダン括弧の枠組みは、2-プレシンプレクティック形式の下で既知の構造（例：リー2-代数）を回復できるか？
• RQ5 ナムブ=ポワンソン構造と $\wedge^nT^*M$ 上のリーブニッツ代数的構造との正確な関係は何か？

主な発見

• $(n+1)$-ベクトル場 $\pi$ のグラフが高次ドルフマン括弧に関して閉じるための必要十分条件は、$\pi$ がナムブ=ポワンソン構造であることである。
• この閉じる条件により、バンドル $\wedge^nT^*\!M$ 上にリーブニッツ代数的構造が誘導される。
• $(n+1)$-形式 $\omega$ のグラフが高次ドルフマン括弧に関して閉じるための必要十分条件は、$\omega$ が $n$ 階のプレマルチシンプレクティック構造であること、すなわち $\mathrm{d}_M\omega = 0$ であることである。
• このようなプレマルチシンプレクティック形式 $\omega$ に対して、$\wedge^nT^*\!M$ の適切な部分バンドル $A \subset \wedge^nT^*\!M$ が存在し、これにはリー代数的構造が誘導される。
• $n=2$ の場合、$A$ 上に誘導されるリー代数的構造は、ベイズらが古典的ストリング理論の文脈で以前に構成したリー2-代数構造を再現する。
• 本枠組みは、古典的コルダン代数的理論を高次テンソル場および高次形式へ一般化し、ナムブ=ポワンソン幾何とマルチシンプレクティック幾何を統一的に1つの括弧形式で記述する。