[論文レビュー] On Higher-Order Fourier Analysis over Non-Prime Fields

Arnab Bhattacharyya, Abhishek Bhowmick|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、素数でない有限体への高階フーリエ解析の拡張を試み、符号理論および計算複雑性理論における新たなアルゴリズム的・構造的結果を可能にする。有限体上での一般化されたリード・マラー符号のリストデコード半径が、最小距離に等しいことを証明し、任意の有限体上で多項式の分解を多項式時間で行うアルゴリズムを提供するとともに、アフィン不変性を持つ局所的に特徴付けられた性質のテスト可能性を確立する。

ABSTRACT

Higher-order Fourier analysis, developed over prime fields, has been recently used in different areas of computer science, including list decoding, algorithmic decomposition and testing. We extend the tools of higher-order Fourier analysis to analyze functions over general fields. Using these new tools, we revisit the results in the above areas. * For any fixed finite field $\mathbb{K}$, we show that the list decoding radius of the generalized Reed Muller code over $\mathbb{K}$ equals the minimum distance of the code. Previously, this had been proved over prime fields [BL14] and for the case when $|\mathbb{K}|-1$ divides the order of the code [GKZ08]. * For any fixed finite field $\mathbb{K}$, we give a polynomial time algorithm to decide whether a given polynomial $P: \mathbb{K}^n o \mathbb{K}$ can be decomposed as a particular composition of lesser degree polynomials. This had been previously established over prime fields [Bha14, BHT15]. * For any fixed finite field $\mathbb{K}$, we prove that all locally characterized affine-invariant properties of functions $f: \mathbb{K}^n o \mathbb{K}$ are testable with one-sided error. The same result was known when $\mathbb{K}$ is prime [BFHHL13] and when the property is linear [KS08]. Moreover, we show that for any fixed finite field $\mathbb{F}$, an affine-invariant property of functions $f: \mathbb{K}^n o \mathbb{F}$, where $\mathbb{K}$ is a growing field extension over $\mathbb{F}$, is testable if it is locally characterized by constraints of bounded weight.

研究の動機と目的

• 素数体に限らない一般の有限体への高階フーリエ解析ツールの拡張。
• 任意の有限体上での一般化されたリード・マラー符号のリストデコード半径に関する予想1.1の解決。
• 任意の有限体上で、多項式を低次の多項式の合成に分解可能かどうかを多項式時間で決定するアルゴリズムの提供。
• 任意の固定された有限体Kに対して、K^nからKへの関数の局所的に特徴付けられたアフィン不変性を持つ性質が、片側誤差でテスト可能であることを証明すること。
• 固定された基本体F上の成長する体拡張Kをとる状況において、有界重みの局所的制約の下で、アフィン不変性を持つ性質のテスト可能性を拡張すること。

提案手法

• 素数体に限らない一般の有限体に対し、Gowers一様性ノルムや正則性補題といった高階フーリエ解析のツールを適応する。
• 超平面への制限と制限下でのランク保存性に基づく再帰的分解戦略を用い、超平面に制限した際にランクが高々qだけ低下することを証明する。
• アルゴリズム的リストデコードから組合せ的リストデコードへのブラックボックス還元を適用し、多項式表現に関する新しい構造的結果を活用する。
• Bhowmick, Lovett, Tulsianiのアルゴリズムを用いて、非素数体上でも構造的因子に関数を正則化する文法的正則性補題を導入する。
• 特定の変数がいかなる低次の因子にも現れない場合にその変数を固定し、変数数を減少させる再帰的アルゴリズムを提案し、トレース写像と体埋め込みを用いて解を再構築する。
• 多変数多項式におけるSchwartz-Zippel型の補題を用い、関数がある集合で構造的形と一致するならば、特定の変数に依存しないことが示され、これにより構造的回復が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限体K上で一般化されたリード・マラー符号RM_K(n,d)のリストデコード半径は、素数体上での結果に続くように最小距離δ_K(d)に等しいか？
• RQ2 任意の有限体上で、多項式を低次の多項式の合成に分解可能かどうかを多項式時間で決定可能か？（素数体に限らない。）
• RQ3 Kが素数体でない場合でも、関数f: K^n → Kの局所的に特徴付けられたアフィン不変性を持つ性質は、片側誤差でテスト可能か？
• RQ4 固定された素数体F上の成長する体拡張Kをとる状況において、有界重みの局所的制約の下で、アフィン不変性を持つ性質のテスト可能性を拡張できるか？
• RQ5 非素数体上での多項式のランクは、超平面への制限によってどのように変化するか？この性質は、高階フーリエ分解における正則性の維持に利用可能か？

主な発見

• 任意の有限体K上で、一般化されたリード・マラー符号RM_K(n,d)のリストデコード半径は、最小距離δ_K(d)に等しくなる。これにより予想1.1が解決された。
• 任意の固定された有限体Kに対して、与えられた多項式P: K^n → Kが(k,Δ,Γ)-分解を有するかどうかを多項式時間で決定するアルゴリズムが存在する。
• 任意の固定された有限体Kに対して、関数f: K^n → Kの局所的に特徴付けられたアフィン不変性を持つ性質は、片側誤差でテスト可能である。
• 任意の固定された有限体Fに対して、KがF上の成長する体拡張であるとき、関数f: K^n → Fのアフィン不変性を持つ性質が、有界重みの局所的制約によって特徴付けられるならば、テスト可能である。
• 非素数体上での多項式のランクは、超平面に制限した際に高々qだけ低下する。これにより、高階フーリエ分解における再帰的解析が可能になる。