[論文レビュー] On Hilbert's construction of positive polynomials

Bruce Reznick|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Mathematics and Applications参考文献 17被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、1888年にヒルベルトが考案した正定多項式が平方和で表現できないものについて一般化し、補間と零点集合条件を用いた体系的な方法を導入して、このような多項式を生成する。3変数および4変数の高次多項式において、平方和で表現できない正定多項式の存在を証明し、その数に関する下界を著しく向上させた。

ABSTRACT

In 1888, Hilbert described how to find real polynomials in more than one variable which take only non-negative values but are not a sum of squares of polynomials. His construction was so restrictive that no explicit examples appeared until the late 1960s. We revisit and generalize Hilbert's construction and present many such polynomials.

研究の動機と目的

• 1888年の論文における特定のケースを超えて、ヒルベルトの元々の正定多項式が平方和で表現できない構成を、より高次およびより対称的な配置に一般化すること。
• このような多項式を構成可能にするヒルベルト法の背後にあるメカニズムを特定すること。
• 3変数および4変数の高次多項式において、平方和で表現できない正定多項式の広範な新しい明示的例を生成すること。
• 固定された次数と変数の組合せにおける、このような多項式の数に関する下界を向上させること。

提案手法

• 指定された点集合上での多項式の理想を生成する基底関数を構成するために、下り階乗多項式 $\phi_{r,s,d}(x,y)$ を用いた補間を用いる。
• ケイリー＝バッハラックの定理を適用して、基本集合を超えて追加の点でも消えることを保証し、平方和としての表現不可能性を確保する。
• 多項式 $p = f_1^2 + f_2^2 + c \cdot \phi\psi$ を摂動的に構成する。ここで $f_1, f_2$ は点集合上で消え、$\phi\psi$ は部分集合で特異的である。これにより正定性と非平方和構造を保証する。
• 有限集合 $A$ 上で消える多項式の理想 $I_{1,d}(A)$ を用い、その構造を解析することで、正定かつ非平方和の摂動の存在を保証する。
• 整数点からなる $d \times d$ グリッドなどの対称的配置にこの方法を適用し、$g_d(x,y)$ を特異的かつ正定値な摂動として用いる。
• 次元数え上げと不等式を用いて、$A$ 上で消える多項式の空間およびその高次理想 $I_{2,2d}(A)$ が、正定かつ非平方和の構成を支える十分な要素を含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトの正定かつ非平方和の多項式の構成は、1888年のオリジナルのケースを超えて、より高次およびより対称的な配置へ一般化可能か？
• RQ2 点集合および消える理想にどのような条件を課すと、摂動された平方和が正定的ではあるが、自身は平方和でないことが保証されるか？
• RQ3 3変数および4変数の高次多項式において、平方和で表現できない正定多項式の明示的例を体系的に生成するにはどうすればよいか？
• RQ4 固定された次数と変数数における、このような多項式の数にどのような下界を確立できるか？
• RQ5 ヒルベルトの方法が高次多項式において有効であるための、基本点の数に関する条件は何か？

主な発見

• 本稿では、$d \geq 3$ に対して、対称的なゼロ点配置を用いて、3変数の $2d$ 次多項式において、平方和で表現できない正定多項式を明示的に構成した。
• $d \geq 3$ に対して、多項式 $ (x)_d^2 + (y)_d^2 + c_d (x)_2(y)_2(x+y-2)_{d-1}(x+y-4)_{d-3} $ は正定的であり、平方和ではない。ここで $c_d \to 0$ が $d \to \infty$ のとき成り立つ。
• このような非平方和の正定多項式の数は、$B_{3,2d} \geq \frac{d^2 + 3d - 2}{2}$ を満たし、$2d = 8, 10$ の場合に既存の下界を改善した。
• 次数6の場合の定数 $c(3) = 4/3$ を正確に計算し、この方法が明確な定量的制御を可能にすることを示した。
• 次元推定により、$r \leq d$ のとき、空間 $I_{2,2d}(A) \setminus I_{1,d}^2(A)$ が空でないことが示され、ヒルベルトの方法がより広い設定でも実行可能であることを裏付けた。
• 点集合 $A$ が一般位置にあり、$\binom{d+2}{2} - 2$ 個の点を持つ場合、および $\tilde{A}$ を $A$ に含まれない点の集合とするとき、$g_d$ が $\tilde{A}$ で正定値で $A$ で特異的であるような配置に対しても、この方法が適用可能である。