[論文レビュー] On Hilbert's gravitational repulsion (A historical Note)

A. Loinger, Tiziana Marsico|ArXiv.org|Apr 9, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この歴史的ノートは、ダヴィト・ヒルベルトの1917–1924年のシュバルツシルト計量に関する研究に、以前に無視されていた重力の反発効果が含まれていることを明らかにしている。重力は座標時間 $ t $ を発展パラメータとして用いる場合、特定の測地線において反発的に働く。主な結果は、$ r > \frac{3\alpha}{2} $ である径方向および円形測地線が、$ \left| \frac{dr}{dt} \right| > \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{r - \alpha}{r} $ を満たす場合に反発的であるということである。光線は常に反発を経験する。これは $ r = \alpha $ で径方向速度が0から始まり、無限遠で1に増加するためである。

ABSTRACT

In the literature on general relativity no mention is made of a remarkable result contained in Hilbert's memoir "Die Grundlagen der Physik", according to which in particular instances and in particular regions the Einsteinian gravity exerts a repulsive action. We give here a concise illustration of this peculiar phenomenon.

研究の動機と目的

• ヒルベルトの一般相対性理論に関する基礎的業績において、無視されがちな結果を浮き彫りにすること：シュバルツシルト時空の特定領域における重力の反発。
• ヒルベルトが $ r = \alpha $ で特異的となるにもかかわらず、測地線解析に座標時間 $ t = x^4 $ を発展パラメータとして選んだ理由を明確にすること。
• 座標時間 $ t $ でパラメータ化された径方向および円形測地線の力学的挙動から、重力の反発効果が生じることを示すこと。これは固有時間ではなく、座標時間によるパラメータ化に起因する。
• クラスクル＝ゼーケレス拡張が座標特異性に起因する誤解を招き、光線に対する重力の作用を歪めているため、物理的に誤解を招くと主張すること。

提案手法

• $ f(r) = r $ を用いたヒルベルトによるシュバルツシルト計量の元来の導出の分析により、標準的な $ ds^2 $ 形式が得られ、$ g_{44} = -\frac{r - \alpha}{r} $ となる。
• 測地線方程式にアフィンパラメータ $ p $ を用い、第一積分を用いて $ t $ による運動を表現するための消去処理を行う。
• 式 (9) の $ r(t) $ に関する二階微分方程式の導出により、速度閾値 $ \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{r - \alpha}{r} $ に応じて加速度の符号が変化することを示す。
• 条件 $ \left| \frac{dr}{dt} \right| > \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{r - \alpha}{r} $ を適用し、特に $ r = \frac{3\alpha}{2} $ における光線に対して反発領域を特定する。
• 座標時間 $ t $ と固有時間 $ s $ の比較を行い、$ t $ が $ r = \alpha $ で $ g_{44} \to 0 $ となるにもかかわらず、グローバルに同期されており物理的に意味を持つことの強調。
• シュバルツシルト、ブリルアン、等方的、調和座標系などの代替計量の評価により、反発条件が $ f(r) $ に依存することを示し、一般条件として $ f(r) > \frac{3}{2}\alpha $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトの1917年におけるシュバルツシルト計量の定式化には、重力の反発の兆候が含まれているか？ もしそうなら、どのような条件下で？
• RQ2 ヒルベルトはなぜ測地線解析に座標時間 $ t = x^4 $ を発展パラメータとして選んだのか？ その物理的根拠は何か？
• RQ3 反発的挙動は径方向測地線にどのように現れるのか？ 速度閾値 $ \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{r - \alpha}{r} $ は果たす役割は何か？
• RQ4 ヒルベルトの反発結果を踏まえると、なぜクラスクル＝ゼーケレス拡張は物理的に問題視されるのか？

主な発見

• 円形測地線では、$ r > \frac{3\alpha}{2} $ のとき重力の反発が生じ、軌道速度 $ v < \frac{1}{\sqrt{3}} $ であるため、ニュートン的吸引とは異なる。
• 径方向測地線を進む光線は常に反発を受ける。これは $ \left| \frac{dr}{dt} \right| = \frac{r - \alpha}{r} $ が反発条件 $ \left| \frac{dr}{dt} \right| > \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{r - \alpha}{r} $ を満たしており、径方向速度が $ r = \alpha $ で0から始まり、無限遠で1に増加するためである。
• 式 (9) の $ r(t) $ に関する微分方程式は、$ \left| \frac{dr}{dt} \right| > \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{r - \alpha}{r} $ のとき加速度が反発的であることを示し、径方向運動における反発領域の存在を確認する。
• $ r = \alpha $ において、$ \frac{dr}{dt} $ と $ \frac{d^2r}{dt^2} $ が両方とも0になるため、いかなる粒子や光線も越えることができない力学的バリアを形成する。これは座標特異性と整合的である。
• 座標時間 $ t $ を発展パラメータとして用いることは物理的に正当化される。なぜなら、$ t $ はグローバルに同期されており、固有時間 $ s $ よりも局所的運動の影響を受けにくいためである。$ r = \alpha $ において $ g_{44} \to 0 $ となるにもかかわらず。
• 代替計量（例えばシュバルツシルト、ブリルアン、等方的）では反発の閾値が異なるが、すべてが $ f(r) > \frac{3}{2}\alpha $ が反発挙動の一般的条件であることを確認する。