[論文レビュー] On Hilbert's Tenth Problem

Michael Pfender|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ペアノ算術を拡張する理論 T における非零性の内部証明と対比して、nullstelle（解）を走査することでヒルベルトの10番目の問題を解こうとする部分的 μ-再帰的決定アルゴリズム、decis を提示する。T がディオファントス的健全（diophantine sound）であれば、decis はディオファントス的不等式を正しく決定するが、マティアセヴィッチの不決定性結果により、T が同時にディオファントス的健全かつ完全であることは不可能であり、これは T が非一貫である場合を除いて矛盾を引き起こす。

ABSTRACT

Using an iterated Horner schema for evaluation of diophantine polynomials, we define a partial $μ$-recursive "decision" algorithm decis as a "race" for a first nullstelle versus a first (internal) proof of non-nullity for such a polynomial -- within a given theory T extending Peano Arithmetique PA. If T is diophantine sound, i.e., if (internal) provability implies truth -- for diophantine formulae --, then the T-map decis gives correct results when applied to the codes of polynomial inequalities $D(x_1,...,x_m) eq 0$. The additional hypothesis that T be diophantine complete (in the syntactical sense) would guarantee in addition termination of decis on these formula, i.e., decis would constitute a decision algorithm for diophantine formulae in the sense of Hilbert's 10th problem. From Matiyasevich's impossibility for such a decision it follows, that a consistent theory T extending PA cannot be both diophantine sound and diophantine complete. We infer from this the existence of a diophantine formulae which is undecidable by T. Diophantine correctness is inherited by the diophantine completion T~ of T, and within this extension decis terminates on all externally given diophantine polynomials, correctly. Matiyasevich's theorem -- for the strengthening T~ of T -- then shows that T~, and hence T, cannot be diophantine sound. But since the internal consistency formula Con_T for T implies -- within PA -- diophantine soundness of T, we get that PA derives eg Con_T, in particular PA must derive its own internal inconsistency formula.

研究の動機と目的

• 形式的理論 T 内部における内部証明と反例探索を用いた、ヒルベルトの10番目の問題の決定アルゴリズムの可能性を調査すること。
• ペアノ算術を拡張する理論 T が、ディオファントス的健全（証明は真を意味する）かつディオファントス的完全（真のディオファントス的命題に対して証明が存在する）である条件を検討すること。
• このような理論 T が存在しえないことを、マティアセヴィッチの不決定性結果を用いて示すこと。T が両立するものと仮定すると、非一貫性に至る矛盾が生じる。
• T がディオファントス的健全であると仮定した場合に、T̃ = T + ¬Con_T のディオファントス的完成が T の非一貫性を暴露する役割を果たすことを分析すること。
• T̃ における内部的意味的完全性が、decis が全関数かつ正しく動作することを示し、マティアセヴィッチの定理と矛盾を引き起こすことを確立すること。

提案手法

• 原始再帰的述語のゲーデル数と入力を与えたときの値を計算する μ-再帰的評価写像 ev: ℕ × |ℕ,2|_PR → 2 を定義する。
• decis(p) を二つのインデックスのレースとして構成する：ev(p,n) = 0 となる最小の n（反例）を表す μ_ex(p) と、内部定理列挙子 thm_T̃(k) = p を満たす最小の k（証明）を表す μ_thm(p)。
• decis(p) = 0 は反例が最初に発見された場合、1 は証明が最初に発見された場合、それ以外は ∞ とする。
• T を T̃ = T + ¬Con_T に拡張する。これはゲーデルの第二不完全定理により、T に対して非一貫でない。
• T̃ における内部的意味的完全性を証明する：すべての n に対して ev(p,n) = 1 ならば、p は T̃ で証明可能である。これにより、decis が T̃ において全関数であることが保証される。
• マティアセヴィッチの結果（ディオファントス方程式に対して一般の決定手続きが存在しない）を用いて、T が同時にディオファントス的健全かつ完全であると仮定すると矛盾が生じることを導く。これは T が非一貫であることを意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的理論 T 内部で定義された μ-再帰的決定アルゴリズムが、すべてのディオファントス的不等式を正しく決定できるか。
• RQ2 このような決定アルゴリズムが終了し、正しい結果を出力するための論理的条件は何か。
• RQ3 PA の非自明な再帰的公理化可能な拡張 T が、同時にディオファントス的健全かつディオファントス的完全であることは可能か。
• RQ4 T に ¬Con_T を加えることで、決定写像 decis の振る舞いや全関数性にどのような影響が生じるか。
• RQ5 内部的意味的完全性の T̃ とマティアセヴィッチの不決定性結果を組み合わせた場合、どのような矛盾が生じるか。

主な発見

• T がディオファントス的健全であれば、T̃ = T + ¬Con_T において、内部的意味的完全性のおかげで、decis は全関数かつ正しく動作する。
• T が同時にディオファントス的健全かつディオファントス的完全であれば、decis はディオファントス方程式の正しく終了する決定手続きとなる。
• マティアセヴィッチの定理（一般の決定手続きが存在しない）により、T が同時にディオファントス的健全かつ完全であることは不可能である。
• ゆえに、PA の非一貫でないディオファントス的健全な拡張 T は、必ずディオファントス的完全でなく、逆も同様である。
• T のディオファントス的完成 T̃ はディオファントス的正しさを継承し、T̃ 内部では、decis はすべてのディオファントス的多項式に対して正しく終了する。
• マティアセヴィッチの結果は T̃ においても成立するし、decis は T̃ において全関数かつ正しく動作するため、T̃（そしてしたがって T）はディオファントス的健全ではありえない。この結論から、PA は自らの内部的非一貫性を証明する。