[論文レビュー] On holonomy singularities in general relativity and the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of spacetimes

Jan Sbierski|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、重力的エネルギーの発散を示す、局所的ホロノミーの非有界性を分析することにより、弱い光的特異点を伴う宇宙論的および球対称時空の $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性を確立する。$C^0$ 拡張が存在する場合でさえ、このような時空は局所リプシッツ度量として拡張できないことが証明され、従来の $C^2$ 結果を超えて、強宇宙正義の $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 形式を強化する。

ABSTRACT

This paper investigates the structure of gravitational singularities at the level of the connection. We show in particular that for FLRW spacetimes with particle horizons a local holonomy, which is related to a gravitational energy, becomes unbounded near the big-bang singularity. This implies the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of such FLRW spacetimes. Again using an unbounded local holonomy we also give a general theorem establishing the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of spherically symmetric weak null singularities which arise at the Cauchy horizon in the interior of black holes. Our theorem does not presuppose the mass-inflation scenario and in particular applies to the Reissner-Nordström-Vaidya spacetimes as well as to spacetimes which arise from small and generic spherically symmetric perturbations of two-ended subextremal Reissner-Nordström initial data for the Einstein-Maxwell-scalar field system. In [26], [27] Luk and Oh proved the $C^2$-formulation of strong cosmic censorship for this latter class of spacetimes -- and based on their work we improve this to a $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-formulation of strong cosmic censorship.

研究の動機と目的

• 特異点を伴う時空の $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性を、幾何的不変量としてのホロノミーを用いて確立すること。
• 一般相対性理論における宇宙論的特異点および弱い光的特異点近傍での局所的ホロノミーの振る舞いを分析すること。
• $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性の一般的基準を、質量増大を仮定しない球対称時空に適用可能なものとして提供すること。
• Reissner-Nordström 時空の摂動に対して、強宇宙正義の $C^2$ 形式を $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ に改善すること。

提案手法

• 重力的エネルギーの尺度として局所的ホロノミーを用い、特異点近傍でその値が非有界になることを示す。
• 局所的ホロノミーが $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張において有界であることを保証する補題を適用し、拡張不能性を導出する。
• 粒子視界を伴うワープド積 FLRW 時空を分析し、スケール因子 $a(t)$ における条件を検証する。
• $(u,v)$-座標系における球対称時空を検討し、特異点で $\partial_v r \to -\infty$ および $\partial_u r \to -\infty$ となる条件を扱う。
• 曲率の振る舞いを制御し、拡張不能性の条件を検証するために、Hawking 質量と $\kappa$-関数に依存する。
• Luk と Oh の $C^2$-強宇宙正義に関する結果を用い、結果を $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ に昇格する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子視界を伴う FLRW 時空に対して、ホロノミーを用いて $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性を確立できるか？
• RQ2 弱い光的特異点を伴う球対称時空において、非有界な局所的ホロノミーは $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性を示唆するか？
• RQ3 摂動された Reissner-Nordström 時空に対して、$C^2$-強宇宙正義の定式化を $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ に改善できるか？
• RQ4 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性の結果は、亜極限的 Reissner-Nordström 初期データの小さな一般的球対称摂動に対して頑健か？

主な発見

• 粒子視界を伴う FLRW 時空は、$\lim_{t\to 0}a(t)=0$、$\int_0^1 \frac{1}{a(t)}dt < \infty$、および $\int_1^\infty \frac{a(t)}{\sqrt{a(t)^2+1}}dt = \infty$ の条件から生じる非有界な局所的ホロノミーにより、$C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能である。
• 球対称な弱い光的特異点は、$\partial_v r \to -\infty$、$\partial_u r \to -\infty$、および各変数における $r$ の単調性の条件下で $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能である。
• Reissner-Nordström-Vaidya 時空および二端子亜極限的 Reissner-Nordström 初期データの摂動に対して、質量増大を仮定せずとも $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-拡張不能性の結果が成り立つ。
• Luk と Oh の $C^2$-強宇宙正義結果が、同じクラスの時空に対して $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-形態に昇格された。
• FLRW 時空のビッグバン特異点近傍で局所的ホロノミーが発散し、無限大の重力的エネルギーを示している。
• 球対称ブラックホールの外部領域では、$\kappa$ は下限と上限で有界であり、$\partial_v r > 0$、$\partial_u r < 0$、$\partial_u \kappa \leq 0$ が成り立ち、拡張不能性の条件を満たしている。