[論文レビュー] On Hom-algebra structures

Abdenacer Makhlouf, Sergei Silvestrov|ArXiv.org|Sep 18, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、代数的恒等式が自己準同型によってねじれられる一般化されたアソシエイティブ、ライブニッツ、リー代数としてのホム代数構造を導入し、研究する。ホムアソシエイティブ代数の交換子はホムリー代数を生じることを確立し、特定のねじれクラスに対して3次元ホムリー代数を分類し、ねじれパラメータを1に設定すると古典的リー代数が回復される。

ABSTRACT

A Hom-algebra structure is a multiplication on a vector space where the structure is twisted by a homomorphism. The structure of Hom-Lie algebra was introduced by Hartwig, Larsson and Silvestrov and extended by Larsson and Silvestrov to quasi-hom Lie and quasi-Lie algebras. In this paper we introduce and study Hom-associative, Hom-Leibniz, and Hom-Lie admissible algebraic structures which generalize the well known associative, Leibniz and Lie admissible algebras. Also, we characterize the flexible Hom-algebras in this case. We also explain some connections between Hom-Lie algebras and Santilli's isotopies of associative and Lie algebras.

研究の動機と目的

• アソシエイティブ、ライブニッツ、リー代数を一般化するために、ねじれ自己準同型を導入し、ホム代数構造を生み出すこと。
• ホムアソシエイティブ、ホムライブニッツ、ホムリー代数を定義し、研究することで、基礎的な恒等式と性質を確立すること。
• リー代数可適性の概念をホム設定に拡張し、G-ホムアソシエイティブ代数およびホムビンバーグ代数を導入すること。
• 乗法のジュリアン部とリー部を用いて、フレキシブルホム代数を特徴付けること。
• 特定の自己準同型のクラスに対して、すべての3次元ホムリー代数を分類し、極限において古典的リー代数を回復すること。

提案手法

• 自己準同型 α を用いたねじれた結合則 μ(α(x), μ(y,z)) = μ(μ(x,y), α(z)) によりホムアソシエイティブ代数を定義する。
• 自己準同型 α を含むねじれたライブニッツ恒等式を通じてホムライブニッツ代数を導入する。
• 自己準同型 α を用いて歪対称性とヤコビ恒等式をねじることでホムリー代数を定義する。
• ホムアソシエイティブ代数上で交換子括弧 [x,y] = μ(x,y) − μ(y,x) を用いてホムリー代数を構成する。
• S₃ の部分群 G を用いて、リー代数可適構造を一般化する G-ホムアソシエイティブ代数を導入する。
• 構造定数をパラメータ化し、特定のクラスの自己準同型の下で分類することで、明示的な3次元ホムリー代数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アソシエイティブ、ライブニッツ、リー代数は、どのようにねじれ自己準同型を用いてホム代数構造へ一般化可能か？
• RQ2 ホムアソシエイティブ代数の交換子は自然にホムリー代数を生じるか？
• RQ3 G-ホムアソシエイティブ代数の構造は何か？また、それらはホムリー代数可適代数とどのように関係するか？
• RQ4 乗法のジュリアン部とリー部を用いて、フレキシブルホム代数はどのように特徴付けられるか？
• RQ5 特定のクラスの自己準同型に対して、3次元ホムリー代数の完全な分類は何か？また、それらは古典的リー代数とどのように関係するか？

主な発見

• ホムアソシエイティブ代数の交換子はねじれたヤコビ恒等式と歪対称性を満たし、結果としてホムリー代数を生成する。
• 特定の自己準同型クラスの下で、すべての3次元ホムリー代数は20種類の異なるタイプに分類され、構造定数は係数 C_ij^k でパラメータ化される。
• ねじれパラメータを a = b = 1 に設定すると、分類はすべての古典的3次元リー代数を回復する。
• ホムリー代数構造は、[X₁,X₂] = 2X₂、[X₁,X₃] = −2X₃、[X₂,X₃] = X₁ という括弧関係を α でねじることで、sl(2) を一般化する。
• この論文は、ホムリー代数とサントゥリのアソシエイティブおよびリー代数のイソトピーとの間の関係を確立する。
• フレキシブルホム代数は恒等式 x(yx) = (xy)x で特徴付けられ、その構造は乗法の対称部と反対称部を用いて分析される。