[論文レビュー] On homogenization estimates in Neuman boundary value problem for an elliptic equation with multiscale coefficients

S. E. Pastukhova, R. N. Tikhomirov|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Neumann境界条件の下で二重スケール係数を有するスカラー楕円型方程式の均質化における作用素ノルム推定を確立する。Steklov平均化を用いた修正された一次近似法により、$\varepsilon \to 0$ の下で $\delta/\varepsilon \to 0$ となる仮定の下で、$L^2$ ノルム誤差推定を $\max\{\varepsilon, \delta/\varepsilon\}$ のオーダー、$H^1$ ノルム推定を $\sqrt{\tau}$ のオーダーで得る。ここで $\tau = \max\{\varepsilon, \delta/\varepsilon\}$ である。結果として、再帰的構造を有するマルチスケールNeumann問題への均質化理論における作用素推定が拡張される。

ABSTRACT

Homogenization of a scalar elliptic equation in a bounded domain with Neuman boundary condition is studied. Coefficients of the operator are oscillating over two different groups of variables with different small periods $\varepsilon$ and $δ=δ(\varepsilon)$. We assume that $δ/{\varepsilon}$ tends to zero as $\varepsilon$ tends to zero. It is known that the limit problem is obtained through reiterated homogenization procedure and corresponds to an elliptic equation with constant coefficients. The difference for resolvents of the initial and the limit problems is estimated in operator $(L^2 o L^2)$-norm. This estimate is of order $τ=τ(\varepsilon)$ which is the maximum of $\ve$ and $δ/{\varepsilon}$. We find also the approximation of the initial resolvent in operator $(L^2 o H^1)$-norm, it is of order $\sqrtτ$.

研究の動機と目的

• マルチスケール楕円型Neumann問題の解とその均質化極限との差に対する鋭い作用素ノルム推定を確立すること。
• Zhikovが提案した修正された一次近似法を、非対称で振動する係数を有する二重スケールNeumann問題へ拡張すること。
• 二つの異なる小スケール $\varepsilon$ と $\delta = \delta(\varepsilon)$ が存在する場合の解の漸近的挙動を分析すること。ここで $\delta/\varepsilon \to 0$ である。
• $\tau = \max\{\varepsilon, \delta/\varepsilon\}$ という有効パラメータを用いて、$L^2$ および $H^1$ 誤差推定を導出すること。このパラメータは振動の支配的スケールを捉える。
• 二重スケール構造が存在するにもかかわらず、単一のパラメータを用いたSteklov平均化が、有効な $H^1$ 近似を構成するのに十分であることを示すこと。これにより、構成が簡素化される。

提案手法

• 問題は、$L^2$-直交性を満たすデータおよび解空間を有する有界な $C^{1,1}$ 域におけるNeumann境界値問題として定式化される。
• 係数行列 $a^\varepsilon(x) = a(x/\varepsilon, x/\delta)$ は、周期 $\varepsilon$ および $\delta$ に対してそれぞれ独立に周期的であり、一様楕円性およびH\
• 再帰的均質化を用いて均質化極限問題が導出され、$Y \times Z$ 上のセル問題を通じて定義される定数係数楕円型方程式が得られる。
• 単一の平滑化パラメータを用いたSteklov平均化を用いた修正された一次近似が構成され、一般のベクトル場の場合と比較して $H^1$ 近似が簡素化される。
• $H^1$-誤差推定はエネルギー法と補助的なセル問題による補正子の利用により導出され、有効行列 $\hat{a}(y)$ のリプシッツ連続性が利用される。
• $L^2$-誤差推定は、解空間が定数関数と $L^2$-直交することとPoincar\'eの不等式を用いて $H^1$-有界性から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\varepsilon \to 0$ かつ $\delta/\varepsilon \to 0$ の下で、二重スケール係数を有するNeumann問題の解について、$L^2$ ノルムにおける最良収束速度は何か？
• RQ2 二重スケール構造が存在するにもかかわらず、単一パラメータのSteklov平均化を用いて、スカラー二重スケール問題の簡略化された $H^1$-近似を構成できるか？
• RQ3 マルチスケール設定において、$H^1$-誤差推定は有効パラメータ $\tau = \max\{\varepsilon, \delta/\varepsilon\}$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 作用素推定の有効性を保証するための有効行列 $a^0$ および補正子の正則性特性は何か？
• RQ5 Zhikovが提案した修正された一次近似法は、非対称でマルチスケール係数を有するNeumann問題へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 元の解と均質化解との $L^2$ ノルム差は、$\|u^\varepsilon - u^0\|_{L^2(\Omega)} \leq C \max\{\varepsilon, \delta/\varepsilon\} \|f\|_{L^2(\Omega)}$ という推定を満たす。ここで $C$ は $d$, $\mu$, $c_L$, および $\Omega$ のみに依存する。
• $H^1$-ノルム誤差は $\|u^\varepsilon - u^0\|_{H^1(\Omega)} \leq C \sqrt{\tau} \|f\|_{L^2(\Omega)}$ で有界であり、$\tau = \max\{\varepsilon, \delta/\varepsilon\}$ である。これは与えられた仮定の下で最適である。
• 有効行列 $a^0$ は定数であり、$Y \times Z$ 上のセル問題を通じて定義される。$\hat{a}(y)$ は $y$ に関してリプシッツ連続である。
• $H^1$-近似の構成は、単一パラメータを用いたSteklov平均化に依存しており、一般のベクトル場問題と比較して大幅に手法が簡素化される。
• 均質化問題の解 $u^0$ は $H^2(\Omega)$ に属し、標準的な $H^2$-正則性推定 $\|u^0\|_{H^2(\Omega)} \leq c_0 \|f\|_{L^2(\Omega)}$ を満たす。これにより推定の有効性が保証される。
• 主な技術的ステップは、補正子 $M(y,z)$ および $N_j(y)$ の有界性と正則性から、行列 $\hat{a}(y)$ のリプシッツ連続性を示すことである。